数学分析(华东师大版)上第二章2-2.ppt

一、惟一性 返回 后页 前页 一、惟一性 §2 收敛数列的性质 本节首先考察收敛数列这个新概念有哪 七、一些例子 六、极限的四则运算 五、迫敛性(夹逼原理) 四、保不等式性 三、保号性 二、有界性 些优良性质？然后学习怎样运用这些性质. 返回 定理 2.2 若 收敛, 则它只有一个极限. 证 设 下面证明对于任何 定数 若 a，b 都是 { an } 的极限，则对于任何正数 ? 0, 当 n N 时 (1), (2)同时成立, 从而有 二、有界性 即存在 证 对于正数 若令 则对一切 正整数 n , 都有 定理 2.3 若数列 件. 注 数列 是有界的, 但却不收敛. 这就说 明有界只是数列收敛的必要条件，而不是充分条 三、保号性 定理 2.4 对于任意两个实数 b, c , 证 注 我们可取 这也是为什么称该定理为保号性定理的原因. , 则存在 N, 当 n N 时, 例1 证明 证 对任意正数 ? , 所以由 这就证明了 定理 2.4, 四、保不等式性 定理 2.5 均为收敛数列, 如果存在正 证 所以 是严格不等式. 注 若将定理 2.5 中的条件 改为 这就是说, 即使条件是严格不等式, 结论却不一定 也只能得到 例如 , 虽然 五、迫敛性 (夹逼原理) 定理 2.6 设数列 都以 a 为极限, 证 对任意正数 所以分 这就证得 满足: 存在 则 例2 求数列 的极限. 所以由迫敛性，求得 又因 解 有 六、四则运算法则 定理2.7 则 (1) (2) 当 为常数 c 时, (3) 也都是收敛数列, 且有 所以 的任意性, 得到 证明 (2) 对于任意 证明 (1) 的任意性, 证得 证明 (3) 由(2), 只要证明 据保号性, 于是 又因为 即 七、一些例子 例3 用四则运算法则计算 (1) 当 m=k 时, 有 分别得出: 解 (2) 当 m k 时, 有 所以 例4 证 根据极限的保不等式性, 有 对于任意 于 是可得: 例5 证 根据极限的保号性, 存在 N, 当 nN 时, 有 又因为 所以由极限的迫 敛性, 证得