数学史概论 第四讲.ppt

印度数学;印度数学（公元5－12世纪）; 《吠陀》印度雅利安人的作品，婆罗门教的经典 《绳法经》（前8－前2世纪）：庙宇、祭坛的设计与测量，包含几何、代数知识，如毕达哥拉斯定理等 印度数学 吠陀时期(公元前10-前3世纪) 悉檀多时期(公元5-12世纪); 古代《绳法经》中的数学; “巴克沙利手稿”与零号; “悉檀多”时期的印度数学; 阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法。为求方程 整数解，首先对a，b使用辗转相除法得到系列商{ q1 , q2 , q3 , …, qn }, 以及相应的余数系列：{ r1 , r2 , r3 , …, rn = 0 },依法则： ;（二）婆罗摩笈多 著作:《婆罗摩修正体系》(628)《肯德卡迪亚格》(约665) 贡献:把0作为一个数来处理 对负数有明确的认识，提出了正负数的乘除法则 给出二次方程的求根公式 给出佩尔(Pell)方程的一种特殊解法:“瓦格布拉蒂” 方法:首先选择适当的整数k与k‘，分别找出ax2 + k = y2和ax2 + k ’ = y2的解(? , ?)与(?‘, ?’ ),再做所谓“瑟马萨” 的组合,得到: ; ;（其中h = 15?, x ? 1，?sin(??h)与?2sin(??h)分别表示一、二阶差分） ;马哈维拉 著作：《计算方法纲要》 内容：九个部分（1）算术术语，（2）算术运算，（3）分数运算， （4）各种计算问题，（5）三率法（即比例）问题， （6）混合运算，（7）面积计算，（8）土方工程计算； （9）测影计算。 给出了一般性的组合数公式 给出椭圆周长近似公式： 受《九章算术》或中国其它算书的影响。 施里德哈勒(Sridhara, 9世纪):《计算概要》, 日用数学著作。;印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家 数学著作：《莉拉沃蒂》（Līlāvatī）和《算法本源》 代表印度古代数学最高水平的著作 天文著作：《天球》和《天文系统之冠》 《莉拉沃蒂》共有13章：第一章给出算学中的名词术语；第二章是关于整数、分数的代数运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、??立方等；第三章论各种计算法则和技巧；第四章关于利率等方面的应用题；第五章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；第六章关于平面图形的度量计算；第七至十章关于立体几何的度量计算；第十一章为测量问题；第十二章是一些代数问题，包括不定方程；第十三章是一些组合问题。该书很多数学问题用歌谣的形式给出。 《算法本源》主要是算术和代数著作。 什迦罗对不定方程有特别的兴趣，除对“库塔卡”问题外，他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的特殊解法改造成一般性的解法。对ax 2 + 1 = y 2 ，婆什迦罗首先选择适当的整数k ，找出a x 2 + k = y 2的一组特解(? , ?)，即a? 2 + k = ? 2，另外再找一个整数 m，使（1，m）是a x 2 +（m2 -a）= y 2的一组特解，使用“瑟马萨”组合，得到 ;最后根据“库塔卡”方法，可以找到 m 使 k? m? + ? , 并且使? m2 -a ? 最小。计算; 3.1 阿拉伯帝国的兴起 3.2 阿拉伯的代数 3.3 阿拉伯的三角学与几何学;阿拉伯数学;阿尔 · 花拉子米（乌兹别克, 783－850）（苏联, 1983）; 花拉子米(约783~850):《还原与对消计算概要》(al-Kitāb al-mukhta sar fī hisāb al-jabr wa‘l-muqābala,约820年前后) 简称《代数学》 “Al-jabr” : 还原移项; “a‘l-muqābala”: 对消. 传入欧洲后，到十四世纪“Al-jabr”演变为拉丁语“Algebra”，也就成了今天的英文“Algebra”。 (i) 用代数方式处理线性方程组和二次方程； (ii) 第一次给出一元二次方程一般代数解法 及几何证明 (iii) 引进移项、合并同类项等代数运算 《代数学》首先指出，该书的数学问题都是由根（x）、平方（x2）和数（常数）这三者组成。;明确指出,二次方程可能有两个正根,也可能有负根,但他不