数学必修五总结及例题.doc

一．数列 1. 等差数列的定义与性质 定义：（为常数）， 等差中项：成等差数列 前项和 性质：是等差数列 （1）若，则 （2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为； （3）若三个成等差数列，可设为 （4）若是等差数列，且前项和分别为，则 （5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数） 的最值；或者求出中的正、负分界项，即：，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. (6)项数为偶数的等差数列，有： ，. （7）项数为奇数的等差数列，有： ， ，. （2013课标全国Ⅰ）已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式； (2)求数列的前n项和． 解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝.由已知可得 解得a1＝1，d＝－1.故{an}的通项公式为an＝2－n.(2)由(1)知＝， 从而数列的前n项和为 ＝. 2. 等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），. 等比中项：成等比数列，或. 前项和： 性质：是等比数列 （1）若，则 （2）仍为等比数列,公比为. （2013天津已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(nN*)，且－2S2，S3,4S4成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明(nN*)．解设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3,4S4成等差数列， 所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是.又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为.(2)证明， 当n为奇数时，随n的增大而减小，所以.当n为偶数时，随n的增大而减小，所以.故对于n∈N*，有. （1）求差（商）法 ，，求 解时，，∴ ① 时， ② ①—②得：，∴，∴ （2）叠乘法中，，求 解，∴又，∴. （3）等差型递推公式 ，求，用迭加法 时， 两边相加得 ∴ （4）等比型递推公式 为常数，） 可转化为等比数列，设 令，∴，∴是首项为为公比的等比数列 ∴，∴ （5）倒数法，求 由已知得：，∴ ∴为等差数列，，公差为，∴， ∴ (附： 公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法 ) 4. 求数列前n项和的常用方法 (1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. （2013?江西）正项数列{an}满足﹣（2n﹣1）an﹣2n=0． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn． 解：（1）由正项数列{an}满足：﹣（2n﹣1）an﹣2n=0， 可有（an﹣2n）（an+1）=0 ∴an=2n． （2）∵an=2n，bn=， ∴bn= = =， Tn= = =． 数列{bn}的前n项和Tn为． （2）错位相减法为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比. （2012年高考（浙江文））已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡. (1)求an,bn; (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. (1) 由Sn=,得 当n=1时,; 当n2时,,n∈N﹡. 由an=4log2bn+3,得,n∈N﹡. (2)由(1)知,n∈N﹡ 所以, , ? ? ,n∈N﹡. （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 　 已知函数，点、是函数图象上的任意两点,且线段的中点的横坐标为．?求证：（１）点的纵坐标为定值 （２）在数列中,若　，求数列的前项和 解：（１）　的中点的横坐标为 　 　 　　　， ?　　　　 　的纵坐标为是定值． 由（１）知：， 又　　 ?令．．．．．．．．．．．．．①． ?倒序得：．．．．．．．② ?①＋②得：　　 ?　　　　 二．正余弦定理 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=2R。?有以下一些变式：?（1）；?（2）；?（3） 2.正弦定理在解三角形中的应用： （1）已知两角和一边解三角形，只有一解。?（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论。可按如下步骤和方法进行：先看已知角的性质和已知两边的大小关系。?如已知a，b，A，（一）若A为钝角或直角，当b≥a时，则无解；当a≥b时，有只有一个解；?（二）若A为锐角，结合下图理解。①若a≥b或a=bsinA，则只有一个解。②若bsinA＜a＜b，则有两解。③若a＜bsinA，则无解。?也可根据a，