数学文化七.ppt

逆定理的证明： 费马 (Fermat 1601-1665），法国人，法学家，一生都在做官员和议员，数学只是他的业余爱好。但他却对数学做出了巨大贡献。他与笛卡儿几乎同时创立了解析几何；他是微积分的先导之一；同时又是17世纪兴起的概率论的探索者之一。 热尔曼（1776.4.1-1831.6.27）法国数学家,她是一位富商的女儿。常常设法从当地的图书馆里借书籍，并且在家自学拉丁文、希腊文和数学。热尔曼进不了巴黎综合工科学校，只能借阅其他学生的笔记。后来她冒用男子之名寄出了一篇文章。拉格朗日对这份报告的价值惊叹不已。当他发现作者是名妇女以后，便做了她的保护人，这也是很值得赞扬的。热尔曼甚至使自负的高斯也注意到了她的成就，高斯保举她获得格廷根大学名誉博士学位。但是热尔曼在接受这个学位之前就离开了人世。 费马已声称他证明了这一事实：不存在正整数x,y,z,使 这个命题以前称为费马猜想，95以来称为费马大定理或费马最后定理。 费马是否证明了这一定理呢？然而很可能的是，他像成千上万的后人一样，自以为证了出来实际上却是证错了。 5. 4.1费马大定理 问题的解决： 1995年，世界权威的学术刊物《数学年刊》以满满一整期的篇幅发表了英国数学家安德鲁?怀尔斯（A.Wiles,1953.4.11~）的108页的论文《模曲线与费马大定理》，解决了这一提出时间长达358年的猜想。1996年他因此获得沃尔夫奖，1998年又荣获菲尔兹特别奖。 他的工作被誉为“20世纪最伟大的数学成就”！ 5. 4.1费马大定理 费马大定理的意义： 费马大定理不仅是数论中的一个著名难题，更重要的是，正如著名数学家希尔伯特指出的，它是一只“会下金蛋的鹅”，它给整个数学带来了巨大财富，促进了代数数论和代数几何的建立，还发展了一系列先进的数学技术，形成了现代数学无尽的前沿。 5. 4.1费马大定理 费马发明了无穷递降法并以此自豪。他肯定的说,他的所有证明都使用这一方法。这一方法往往用来证明整数的某些性质或关系式不可能成立。证明的方法是，如果这些性质对任何正整数成立就会对某些更小的正整数成立。而且还有更小的正整数…，所以这是不可能的。 5. 4.2无穷递降法： 下面我们用费马的无穷递降法来证明下面这个比较简单的定理。 定理1 定理2 定理２是定理１的推论 5. 4.2无穷递降法： 只要把无穷递降法与勾股定理的证明结合起来就可以证明n=4的费马定理。 系 对任何正整数m,方程 无解。 5. 4.3 n=4的费马定理： 欧拉证明了n=3的情况。在1753年8月4日给哥德巴赫的信中,他声称证明了n=3时的费马大定理,但没有给出证明。直到1770年，他才在《代数学入门》中给出了证明，成为费马大定理特例中首先公开发表的证明，但遗憾的是，他的证明有严重的缺陷。幸好在n=3时这个缺陷是可以弥补的。 欧拉的证明方法： 在无穷下降法的基础上，用到了 一类的数，可惜这一方法不能推广到证明其它指数的情形。 5. 4.4 n=3的情形： 1816年，法国科学院首次宣布为费马大定理设奖，奖励由奖章和奖金组成，但该奖项一直无人领取；1850年，又二次设奖，同样无人领取，可见证明的难度。 1825年，法国数学家勒让德证明了P=5的情形，同时证明的还有德国数学家狄利克雷； 1832年，狄利克雷证明了n=14的情形； 1839年，法国数学家拉梅证明了n=7的情形。 5. 4.5 初等方法的结束 拉梅利用n次单位复根，由此得出分圆整数，提出了新的证明方法， 1847年3月1日，拉梅向巴黎科学院的部分院士作报告，宣布他证明了费马猜想，但这方法中有一个致命的错误，并被刘维尔当场指出，初等方法至此告一段落。 5. 4.5 初等方法的结束 到1993年，数学家证明了当n不超过400万时费马定理成立。 欧拉猜想：一个平方数可以分解为两个平方数之和，一个立方数至少要分解为三个立方数之和，一个四次方数不能分解为少于四个四次方数之和…… 但在欧拉后200年，兰德和帕金用计算机算出 5. 4.6 热尔曼的贡献： 诺.埃尔基斯在哈佛证明，存在无穷多个情况，一个四次方数可以分解为三个四次方数之和，最小的情况是： 这说明欧拉的猜想是不对的。 5. 4.6 热尔曼的贡献： 5. 4.6 热尔曼的贡献： 热尔曼费马定理上的贡献：热尔曼首先对指数n进行划分。分成第一种从属情况和第二种从属情况，第一种从属情况是指p除不尽x,y,z中的任何一个，第二种从属情况是指p至少能除尽x,y,z中的一个。 定理 如果p是奇素数，2p+1也是奇素数，则对指数p，费马大