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数论之同余问题
数论之同余问题
余数问题是数论知识板块中另一个内容丰富,题目难度较大的知识体系,也是各大杯赛小升初考试必考的奥数知识点,所以学好本讲对于学生来说非常重要。
余数问题主要包括了带余除法的定义,三大余数定理(加法余数定理,乘法余数定理,和同余定理),
知识点拨:
三大余数定理:
1.余数的加法定理
a与b的和除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数之和,或这个和除以c的余数。
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16=39除以5的余数等
于4,即两个余数的和3+1.
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c的余数。
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数,即2.
2.余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数。
例如:23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1=3。
当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数。
例如:23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.
3.同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为:a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式。
同余式读作:a同余于b,模m。由同余的性质,我们可以得到一个非常重要的推论:
若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除
用式子表示为:如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a-b=mk,k是整数,即m|(a-b)
例如:20和8被自然数3除有相同的余数2。则20-8一定能被2整除
【模块:三大余数定理的应用】
有一个大于1的整数,除所得的余数相同,求这个数.
这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据同余定理,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.,,,的约数有,所以这个数可能为。
有一个整数,除39,51,147所得的余数都是3,求这个数.
(法1) ,,,12的约数是,因为余数为3要小于除数,这个数是;
(法2)由于所得的余数相同,得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.,,,所以这个数是.
在小于1000的自然数中,分别除以18及33所得余数相同的数有多少个?(余数可以为0)
我们知道18,33的最小公倍数为[18,33]=198,所以每198个数一次.
1~198之间只有1,2,3,…,17,198(余O)这18个数除以18及33所得的余数相同,
而999÷198=5……9,所以共有5×18+9=99个这样的数.
(2008年仁华考题)一个三位数除以17和19都有余数,并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和.那么这样的三位数中最大数是多少,最小数是多少?
设这个三位数为,它除以17和19的商分别为和,余数分别为和,则.
根据题意可知,所以,即,得.所以是9的倍数,是8的倍数.此时,由知.
由于为三位数,最小为100,最大为999,所以,而,
所以,,得到,而是9的倍数,所以最小为9,最大为54.
当时,,而,所以,故此时最大为;
当时,,由于,所以此时最小为.
所以这样的三位数中最大的是930,最小的是154.
两位自然数与除以7都余1,并且,求.
能被7整除,即能被7整除.所以只能有,那么可能为92和81,验算可得当时,满足题目要求,
学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班?
所求班级数是除以余数相同的数.那么可知该数应该为和
的公约数,所求答案为17.
(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511,及时能剩下相同余数的最大整 与的和除以7的余数是,,,,,…的余数分别是2,4,1,2,4,1,2,4,1,…,2的个数是3的倍数时,用7除的余数为1;2的个数是3的倍数多1时,用7除的余数为2;2的个数是3的倍数多2时,用7除的余数为4.因为,所以除以7余4.又两个数的积除以7的余数,与两个数分别除以7所得余数的积相同.而2003除以7余1,所以除以7余1.故与的和除以7的余数是.
(2004年南京市少年数学智力冬令营试题)在1995,,,,中,若其中几个数的和被除余,,,
所以这样的数组共有下面4个:, ,
,.
(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数,用它去除70,,所得到的个余数之和是,那,,除数应当是290的大于17小于70的约数,只可能是29和58,,
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