首先证明完美重建滤波四组所要具有折双正交性 - Read.DOC

一、多相表示的双正交条件 图1 小波分析与重构 首先我们来推导上图中滤波器组构成双正交的充要条件 ①序列cj(n)(n=0,1,2,3,……)的Z变换是： 序列（n=0，1，2，3……）的Z变换是： ，同理 ②时域中以2为因子的抽样对应到z域中为：M2(n)=M1(2n) 同理： ③以2为因子的内插 n=0,2,4…… 同理： ④， 对于无失真重建，有,因此 于是得到滤波器组构成双正交小波的充要条件： （1） 可以将(1)式写成矩阵形式 （2） 为了把滤波器分解为多相表示，先把滤波器的冲击响应h(z)、g(z)分解为奇偶系数的组合： 令 而 ， 同理有： 把(2)中的h(z),g(z),,表示为he(z), ho(z), ge (z), go (z), 的形式有： (3) 其中的 (3)式可表示为： 又因为： = [2 0] 所以有 以2为因子采样后： 令和 (4) 对上式求解，就可得到理想滤波器组。等于I是满足理想波器条件的最简单的情况。这就意味着 是Lazy小波变换，一般提升方法从它开始构造小波基。当detP(z)=1时式（4）的一组解为： 即有： 求解式(4) 的更普通的解： 由于 且由于都是Laurent多项式 即是说都是Laurent多项式 是z的单项式，即，其中C为常数，为z的幂次。 二、多相表示的小波分析与重构 2.1多相表示的分析滤波器 根据图1中的分析滤波示意图，可以得到式(5)，其中表示对花括号中信号进行下采样。 (5) 由式(5)可以得到图2所示的示意图。 图2 多相表示的小波分析示意图 2.1多相表示的重构滤波器 图1中的综合滤波器将、经过上采样后分别变成了和，由图1可以得到式(6)，其中表示对花括号中的信号进行上采样。所以可以表示为： (6) 由式(6)可以看出，传统的小波重构可以用图3的多相形式表示。 图3 多相表示的小波重构示意图 将图2和图3连接起来，就得到了用多相表示的小波分析与重构结构，如图4所示。 图4 多相表示的小波分析与重构示意图 三、提升定理 如果要从一个已有的滤波器组通过一个简单的提升定理，构造出另一个滤波器组使这个滤波器组也对应于一组正交小波基。并且通过提升过程，使具有更高的消失矩，那么，下面两个定理就可以把提升过程归纳到其中了。 3.1定理1 如果原滤波器组满足理想重构条件，则由下式（7）构成的新滤波器组也满足理想重构条件，这个过程称为提升。 (7) 其中s(z)称为提升因子。原滤波器组满足理想重构条件: 将中的代成，将代成，所以有： = 将中的代成，g(z)代成，所以有： 即新滤波器组也满足理想重构条件。 下面用多相矩阵来表示提升定理1。 其中 综上，用多相矩阵表示提升定理1有： 且有，完全满足重构条件。 3.2定理2（对偶提升） 如果原滤波器组满足理想重构条件，则由下式构造的新滤波器组也满足理想重构条件。 （8） 其中t(z)为提升因子，利用原滤波器组满足的理想重构条件，将： 即：新滤波器组也满足理想重构条件，用多相矩阵表示对偶提升方法有： 其中 其中 综上，用多相矩阵表示提升定理2有： 同样。 四、传统小波的提升原理 由于已存在大量具有良好性质的正交和双正交小波基，将这些小波基用提升方法实现可以节省运算量。提升小波实现的关键是从给定的中分解得到提升因子s(z)和t(z)。先介绍用来多项式因式分解的Euclidean算法，然后将该算法用于对的分解，最后给出几个例子。 4.1古典的Euclidean分解算法 由于有限冲击响应FIR滤波器对应的传输函数，是一个(ke-kb)阶Laurent多项式，而Euclident算法就是求解两个Laurent多项式的最大公因子GCD。若GCD的阶数为０，则该两多项式是互素的。如已知两个Laurent多项式为 从i=0开始进行如下的选代： 式中“%”表示取余运算符。对于最小整数n，使得，则就是所求的最大公因子GCD，即。 选代过程中记商 则有： 相当于 这就是通过Euclidean算法对的因式分解。但要注意，Laurent多项式的分解不是唯一的。 例1 算法进行分解 （1） （2）辗转相除，第一步从开始有 （3）辗转相除第二步，有 在第二次相除时，取余得满足停止辗转相除的条件，所以，且阶数为0，表示x(z),y(z)互素。 则分解的结果是： 4.2传统小波滤波器组的分解 （1）从he (z)和ho (z)的因式分解入手： 对传统小波滤波器组的