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习题及答案：习题19：设有厚度为1的无限大薄板在板内小孔
习题及答案：第四章
习题4-19： 设有厚度为1的无限大薄板，在板内小孔中受集中力F，如下图所示，所示，试用如下的应力函数求解该弹性体的应力场:
相容条件
易知上述 满足相容方程
代入应力公式得
（3）考察边界条件。本题只有原点o附近的小孔口上作用有集中力F，可取出包含小孔口在内的、半径为的脱离体，列出其3个平衡条件：
将应力代入上式，其中第二、三式自然满足，而第一式得出
(a)
（4）由此可见，考虑了边界条件后还不足以确定待定常数。注意到本题是多连体，应考虑位移的单值条件。因此，先求出应变分量，再积分求出位移分量，然后再考虑单值条件。由物理方程求出应变分量,
代入几何方程得，
由前两式积分的得，
将 代入第三式，并分离变量得
为了使上式在区域内任意的 都成立，两边都必须等于同一常数G。这样，得到两个常微分方程，
（b）
(c)
由（b）式解出
将式（c）对 求导一次，再求出，
再将上式得代入 得
（d）
显然，式（d）中第二项是多值项。为了保证位移的单值性，必须
(e)
将（a）代入上式得
（f）
将式（a）、（f）代入应力公式，得无限大薄板在小孔口受集中力F的解答：
x
y
0
F
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