二元一次不等式的解区域.PDF

二元一次不等式的解區域 建國中學‧林信安 老師 221 二元一次不等式的解區域 在日常生活中，我們常會面臨如下的問題：如何把有限的資源，做最佳且最有效地運用， 以收到最大效益？ 例如：好康生技工廠這個月生產A ，B 兩種健康食品，每公斤的成本分別為 150 元和300 元，且每公斤的利潤分別為450 元和600 元。已知該工廠生產這兩種健康食品的總量不超過 2400 公斤，且可用的資金最多是 450000 元。根據市場調查，這兩種健康食品都可以銷售出 去，那麼好康生技工廠應如何分配A ，B 兩種健康食品的產量，才能獲得最多的利潤？ 這就是一個典型的規劃問題，而解決這類規劃的問題，我們必須先根據題意，設定目標 （如上述問題，即建立利潤函數）；再從問題中找出限制條件，轉化為代數式；最後尋求最佳 策略，以達成規劃問題的目標。 規劃問題的限制條件，轉化為代數式後，通常是以「不等式」的型態出現，而上述問題 牽涉含有「兩個變數」的一次不等式，所以就讓我們先探討這種二元一次不等式及其解區域。 二元一次不等式的解區域 二元一次不等式是指 ax+by+c(,,)0 這種形式的不等式。 二元一次不等式 ax+by+c(,,)0 的解區域 ，即為所有滿足該不等式的解(x0,y0)所形成 的圖形。 (1)如何判別兩點在一直線的同側或異側？ 原理： 設L ：px +qy+r=0 ，P(x ,y ) 、Q(x ,y ) ， 1 1 2 2 (a)若P 、Q 兩點在直線L 的異側，則(px +qy +r)(px +qy +r)0 。 1 1 2 2 (b)若P 、Q 兩點在直線L 的同側，則(px +qy +r)(px +qy +r)0 。 1 1 2 2 [證明] ：  (a)因為P 、Q 兩點在直線L 的異側，令PQ 與直線交於R(,) P PR x +mx y +my 設 =m ，根據分點公式，可得= 1 2 ,= 1 2 RQ 1+m 1+m 因為R(,)在直線L 上 x +mx y +my L 1 2 1 2 p ( 1+m )+q( 1+m )+r=0 R (px +qy +r)+m(px +qy +r)=0 1 1 2 2 (px +qy +r) Q 1 1 m= 0 (px +qy +r) 2 2 (px +qy +r)(px +qy +r)0 1 1 2 2 1 (b)設在直線PQ 上取一點R ， P 使得R(,)分別與P 、Q 落在直線L 異側