内心与重心.DOC

【學習目標】 三角形三邊的垂直平分線(中垂線)交於一點，此點稱為三角形的「外心」；外心到三頂點等距離。 銳角△ 直角△ 鈍角△ ◎何謂「外接圓」、「內接三角形」？ ◎外心：外接圓的圓心。 ◎直角△斜邊中點(外心)到三頂點等距離。 ◎直角△的斜邊即為外接圓的直徑，斜邊中點即為外接圓的圓心。 三角形的三個內角平分線交於一點，此點稱為三角形的「內心」；內心到三邊等距離。 ◎何謂「內切圓」、「外切三角形」？ ◎內心：內切圓的圓心。 三角形的三中線交於一點，此點稱為三角形的「重心」(幾何中心)；重心到頂點的距離等於重心到對邊中點距離的兩倍。 ◎三條中線將△分成六個面積相等的△。 ★直角△的「外心」到「重心」的距離為斜邊長的六分之一。 ★三角形的「內心」、「重心」必在△內部；而「外心」可以在△內部、斜邊上、外部。 ★正△的外心、內心、重心在同一點。 ★瞭解三角形「外心」、「內心」、「重心」的性質，並會利用這些性質來作計算、推廣。 ★特殊三角形： 【實力培養】 1.已知：A、B、C三個村莊 求作：一個國小的位置，使得此國小到A、B、C三個村莊的距離相等。 2.已知：在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，∠C=60°，O為斜邊的中點。 求證：△OBC為正三角形 若，求 承(2)，求：：=？ 3.在△ABC中，∠BAC=80°，∠ABC=70°，O為△ABC的外心，求∠AOB、∠BOC及∠COA 4.已知∠A=110°，∠ABC=40°，O為△ABC的外心，求∠BOC的度數。 5.如圖，已知△ABC為等腰三角形，，，求外接圓的半徑長。 6.已知P為△ABC的內心，、、，若△ABC面積為84平方公分，且公分、公分 、公分，求的長(內切圓半徑)。 7.已知P為△ABC的內心，且∠ABC=50°， ∠ACB=30°，求∠BPC。 8.已知△ABC的三中線、、相交於G，若、、，求、、。 9.已知G為直角三角形ABC的重心，O為斜邊的中點，其中公分，公分，分別求和之長。 【摸擬試題】 1.已知D為△ABC內部一點，且，則D在△ABC的(A)三中線的交點上 (B)三內角平分線的交點上 (C)三高的交點上 (D)三邊的垂直平分線上。 2.想將一任意三角形分成六個等面積的三角形，可以怎麼作？(A)作三內角平分線 (B)作三邊垂直平分線 (C)作三邊的中線 (D)作三邊的高。 3.某農夫有一塊三角形土地，周圍有三條公路，而三個小孩分別於三條公路上，可攔到交通車，今為方便小孩就學走相同路程前往搭車，其想蓋一農舍居住，要蓋在哪裏較適當？(A)三中線的交點上 (B)三內角平分線的交點上 (C)三邊的垂直平分線上 (D)三個頂點皆可。 4.對於等腰△的三個心的描述，哪一個正確？ 外心、內心、重心必在同一點 外心、內心、重心必同在△內部 外心、內心、重心可形成一個三角形 外心、內心、重心必同在一直線上 5.直角△ABC中，∠C=90°，，，今欲在上找一點O為圓心，畫一圓同時與、相切，那麼下列何者正確？(A)O是是中點 (B) (C)圓半徑是1 (D)圓半徑是 6.正△ABC的邊長為6公分，則其外接圓半徑為 公分；內切圓半徑為 公分。 7.正三角形的外接圓的面積與內切圓面積比是(A)1：1 (B)2：1 (C) 3：1 (D)4：1 8.如圖，已知，，若G是重心，O為外心，I為內心，求(1) (2) (3) 9.在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，且O為△ABC的內心，則△AOB面積：△BOC面積：△AOC面積= 。 10.在△ABC中，O為外心，若∠AOB=140°，求∠ACB= 度。 11.如圖，若∠C=90°，，，D、E分別是、之中點，則四邊形CDFE的面積= 。 12.直角△ABC中，∠C=90°，，，若O是△ABC的外心，G是重心，I是內心，求： (1)△ABC外接圓半徑。 (2)△ABC內切圓半徑。 (3) (4)△ABG面積 (5)△ABI面積 (6)∠AIB 國中數學B5 CH3-3三角形的外心、內心與重心 班級： 座號： 姓名： 3