最优化方法第一章第一节.ppt

例1.1.5：两杆桁架的最优设计问题。由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载为2p，两支座之间的水平距离为2L，圆杆的壁厚为B，杆的比重为ρ，弹性模量为E，屈曲强度为δ。求在桁架不被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直径d。 受力分析图 圆杆截面图 桁杆示意图 解：桁杆的截面积为 ： 桁杆的总重量为： 负载2p在每个杆上的分力为： 于是杆截面的应力为： 此应力要求小于材料的屈曲极限，即 圆杆中应力小于等于压杆稳定的临界应力。由材料力学知： 压杆稳定的临界应力为： 由此得稳定约束： 另外还要考虑到设计变量d和h有界。 从而得到两杆桁架最优设计问题的数学模型： 建立最优化问题数学模型的三要素： （1）决策变量 决策变量是由数学模型的解确定的未知数。 （2）约束或限制条件 由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。 （3）目标函数 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系 统的效率，即系统追求的目标。 n维欧氏空间 向量 向量变量实值函数： 无约束最优问题： 最优化问题的一般数学模型 其中 均为向量 的实值函数， 目标函数 不等式约束 等式约束 称满足所有约束条件的向量 为容许解，或可行解，或可行点，全体容许点的集合称为容许集或可行集，记为 。 若 是连续函数，则 是闭集。 在容许集中找一点 ，使目标函数 在该点取最小值，即满足： 的过程即为最优化的求解过程。 称为问题的最优点或最优解， 称为最优值。 定义1：全局（整体）最优解：若 ，对于一切 ，恒有 则称 是最优化问题的整体最优解。 定义2：局部最优解：若 ，存在某邻域 ，使得对于一切 ，恒有 则称 是最优化问题的局部最优解。其中 严格最优解：当 ，有 则称 为问题的严格最优解。 f(X) 局部最优解 整体最优解 (1) (2) (3) 定义3：在 维线性空间 中，定义实函数，使满足以下条件： (1)对 ，有 ，当且仅当 时 ； (2）对 ，及实数 有 ； （3）对 ，有 ； 则称函数 为 上的向量范数。 常用的范数有2－范数 －范数 对于最优化问题一般可作如下分类： * * * * * * * * * * 最优化方法 陈伟锋 (600wfchen@zjut.edu.cn 信息工程学院 广C-504室 《最优化方法》 解可新, 天津大学出版社, 2004 教材： 参考书目： 《最优化理论与算法》 陈宝林, 清华大学出版社 《最优化计算方法》 席少霖, 赵凤治, 上海科学 技术出版社 最优化问题的数学模型和基本概念 二维优化问题的几何解释及一维有哪些信誉好的足球投注网站算法 最优化问题的一般数学模型 共轭方向法和共轭梯度法 拟牛顿法 约束最优化问题的最优性条件 罚函数法与乘子法 凸集和凸函数 线性规划的基本概念和图解法 单纯性法 对偶规划与灵敏度分析 无约束最优化问题的最优性条件及其基本算法 第一章 最优化问题概述 最优化方法从广义上来讲是运筹学的范畴，是20世纪三四十年代发展起来的一门新兴交叉学科。它主要研究人类对资源的运用及筹划活动，以期通过了解和发展这种运用及筹划活动的基本规律，发挥有限资源的最大效益，达到总体最优的目标。 §1.0 最优化方法的发展历史 现代运筹学的研究起源于20世纪二战期间，因其在军事作战 方面的大量成功运用