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8.514 凝聚态物理和原子物理中的多体现象 最后修订: 2003 年 9 月 24 日 1. 第 3 课 二次量子化,玻色子 本课程将讨论多体问题分析中常用的二次量子化方法。该方法的核心思想最初是由迪拉克 （Dirac）提出的, 并由费克 (Fock)和约当 (Jordan)发扬光大。在这个方法里，我们把玻 色子或费米子的多粒子态想象为一个由一定数目的全同粒子填充的单粒子态。按二次量子 化的语言，我们可以把多体问题转化为用“准粒子”描述的单体问题，而这里“准粒子” 正是在相互作用图像下的粒子。 1.1 费克空间 多体问题定义了 N 个粒子（这里是玻色子），这些粒子是由单粒子哈密顿量及双体相互作 用哈密顿量的和来描述的 其中，x 是粒子坐标。在某些特殊情况下，如核粒子，我们需要引入三粒子甚至更高阶的 a 多粒子相互作用。例如， 等 由多体波函数Φ ( x , x ,…, x )描述的系统具有关于坐标x 的置换对称性。这种对称 1 2 N a 要求来自于粒子的不可分辨性和波色统计（即波函数在粒子置换下不变）。波函数Φ (x , 1 x ,…, x )服从薛定谔方程 。因为在人们感兴趣的典型情况下所涉及的粒 2 N 子数巨大，直接求解这样的方程是很困难的。然而，我们可以考虑几个方法。这里将讨论 的二次量子化方法是三十年代发展起来的史上第一个多体技术。 首先，我们将定义有时被称为多粒子“大”空间的费克空间 也就是第 N 个单粒子希尔伯空间#SIGN#对称幂的和。它描述含有任意数目粒 子（N=0,1,2…）系统的态。 我们可以通过对态φ (x)的所有排列进行求和，从态ν的正交归一完备集中提取单粒子波 p 函数φ (x)，并由其对称积来构成“大空间”ν的基。 p mp数表示积里面函数φ (x)出现的次数。求和Σ 中的排列数等于将N个元素组合为含有 p P m1,m2,…个元素且满足(m1+m2+…=N)的分组方法的数目。组合系数(N !/ m ! m !…,)定 1 2 义了方程(4)中的归一化因子。可以证明态（4）是正交的且构成ν的完备集。 例如，考虑立方LxLxL中的自由玻色子，其单粒子态可以取为单粒子问题Eφ (x)= p 中的本征态。假设存在周期边界条件，我们得到平面波形式的本征态 3 其中，整数n1,2,3 且V=L 。这些态的能量是 。此空间ν由下列函数张开