有界集与确界定理.ppt

个西学院数学系 §1.2 数集·确界原理 一、区间与邻域 二、上确界、下确界 一、区间与邻域 二 有界集·确界原理 1 有（无）界数集:定义(上、下有界, 有界) 数集S有上界 数集S无上界 数集S有下界 数集S无下界 数集S有界 数集S无界 3.数集与确界的关系: 确界不一定属于原集合. 以例1⑵为例做解释. 4.确界与最值的关系: 设 E为数集. ⑴ E 的最值必属于E, 但确界未必, 确界是一种临界点. ⑵ 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. ⑶ 若 存在, 必有 对下确界有类似的结论. * * 河西学院院数学系 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 有限集 无限集 数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集 数集间的关系: 例如 不含任何元素的集合称为空集. 例如, 规定 空集为任何集合的子集. 2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间, 称为闭区间, 称为半开区间, 称为半开区间, 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 3.邻域: 例1 证明集合 是无界数集. 证明： 由无界集定义，E 为无界集. 2 确界: 直观定义:若数集S有上界，则它有无穷多个上界，其中最小的一个上界称为数集S的上确界， 同样，有下界数集S最大的一个下界称为数集S的下确界， M M2 M1 上确界 上界 m2 m m1 下确界 下界 确界的精确定义 证 必要性，用反证法. 例3 设数集S有上确界.证明 例4 设 A, B为非空数集,满足: 证明数集 A有上确界, 数集B有下确界,且 证: 故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界. 是数集A的一个上界,而由上确界的定义知 由假设,数集B中任一数 都是数集A的上界, A中任一数 都是B的下界, 是数集A的最小上界, 故有 而此式又表明数 是数集B的一个下界, 故由下确界的定义证得 例5 为非空数集, 试证明: 证 有 或 由 和 分别是 的下界,有 或 即 是数集 的下界, . 和 5 确界原理 定理1 (确界原理). 设 E 为非空数集，若E有上界，则E必有上确界；若E有下界，则E必有下确界。