有趣的数论(奇偶分析和有趣的数字).ppt

有趣的数论 郑州师范学院数学系 陈宏道 第3讲 奇偶分析 用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析 . 奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数≠偶数，奇数个奇数之和是奇数等。灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。 例1 有7个杯子口朝上，现在每次翻动4个杯子，问能否将所有杯子翻成口朝下？ 例2 小华买了一本共有96张练习纸的练习本，并依次将它的各面编号（即由第1面一直编到第192面）。小丽从该练习本中撕下其中25张纸，并将写在它们上面的50个编号相加。试问，小丽所加得的和数能否为2000？ 　例3 有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。 　例4 如下图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。 例5 有20个1升的容器，分别盛有1，2，3，…，20厘米3水。允许由容器A向容器B倒进与B容器内相同的水（在A中的水不少于B中水的条件下）。问：在若干次倒水以后能否使其中11个容器中各有11厘米3的水？ 例6 一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话。某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人。”另一个成员李四说：“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是骗子？ 例7 某市五年级99名同学参加数学竞赛，竞赛题共30道，评分标准是基础分15分，答对一道加5分，不答记1分，答错一道倒扣1分。问：所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数？ 　例8 现有足够多的苹果、梨、桔子三种水果，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和桔子三种水果），才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。 例9 设标有A，B，C，D，E，F，G的7盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关。现在A，C，D，G这4盏灯亮着，其余3盏灯没亮。小华从灯A开始顺次拉动开关，即从A到G，再从A开始顺次拉动开关，他这样拉动了999次开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？ 例10桌上放有77枚正面朝下的硬币，第1次翻动77枚，第2次翻动其中的76枚，第3次翻动其中的75枚……第77次翻动其中的1枚。按这样的方法翻动硬币，能否使桌上所有的77枚硬币都正面朝上？说明你的理由。 奇偶分析作为一种分析问题、处理问题的方法，在数学中有广泛的应用，是处理存在性问题的有力工具，本讲所举例题大多属于这类问题。这种方法具有很强的技巧性，尤其是选择什么量进行奇偶分析往往是很困难的。选准了，只须依据奇偶数的性质，分析这个量的奇偶特征，问题便迎刃而解；选不好，事倍功半。同学们应认真领会本讲所举例题，以把握选择合适的量进行奇偶分析的技巧。 第4讲 有趣的数字 例1 在下式中的每两个相邻数之间都添上一个加号或减号，组成一个算式。要求算式运算结果等于37，且这个算式中的所有减数（前面添了减号的数）的乘积尽可能的大。 　　10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 　　那么，这些减数的最大乘积是多少？ 例2 将1～9这9个数字填入下面方格中，且使积P最小： 　　P=□□□×□□□×□□□。 例3 用1，2，…，9这9个数字，最多能组成多少个平方数？要求每个数字都要用一次且只能用一次。 　例4 用1，2，…，9这9个数字排成没有重复数字的九位数，一共可以排多少个？这些数的最大公约数是多少？ 　例5 能否在圆周上放置0，1，2，…，9这10个数字，使得任何两个相邻数的差为3，4或5？ * * *