有限元法概论1.ppt

选课要求 愿意付出一定时间学习本课程； 有一定英语水平； 由于计算中心电脑数量有限，欢迎大家自带笔记本上课，将免费为大家安装软件。 参考书目 徐芝纶：弹性力学简明教程，第三版，高等教育出版社 J.N. Reddy著，邹仲康等译：有限元法概论，湖南科学技术出版社 谭建国：使用ANSYS6.0进行有限元分析，北京大学出版社 使用ANSYS6.1进行结构力学分析，北京大学出版社 郝文化 主编：ANSYS土木工程应用实例，中国水利水电出版社 李权：ANSYS在土木工程中的应用，人民邮电出版社 网上资源 图书馆超星数字图书，有哪些信誉好的足球投注网站ANSYS可得相关书籍； 仿真论坛：/forum/ 中国CAE联盟社区：/Forums/default.aspx 百思论坛 ： ——结点对单元的作用力，作用于单元，称为结点力，以正标向为正。 ——单元对结点 的作用力，与 数 值相同,方向相反， 作用于结点。 （6）将每一单元中的各种外荷载，按等效原则移置到结点上，化为结点荷载，表示为 用有限单元法解平面问题 1.有限元法(Finite Element Method，简称FEM) —是弹力的一种近似解法。首先将连续体变换为离散化结构，然后再应用结力方法或变分法进行求解。 概述 左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是结点。 从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在结点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各结点的位移,进而求出应力. 从数学角度理解, 把这个求解区域剖分成许多三角形子域,子域内的位移可用相应各结点的待定位移合理插值来表示. 例如: 2. FEM的特点 （1）具有通用性和灵活性。 （2）对同一类问题，可以编制出通用程 序，应用计算机进行计算。 （3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。 3. FEM简史 FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗（Courant）第一次在论文中提出了FEM的概念。 1956年，特纳(Turner)，克劳夫（Clough）等人将FEM应用于工程问题（飞机结构 分析）。 1960年，克劳夫（Clough）提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和非线性问题，并得到迅速发展。 1970年后，徐芝纶首次将有限元法引入我国并很快地得到应用和发展。 §1 基本量和基本方程的矩阵表示 采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力问题的公式。 1 、基本量 面力 体力 应力 应变 位移 结点位移列阵 结点力列阵 2、基本方程 几何方程 物理方程 其中： D称平面应力问题的弹性矩阵 或： 3、虚功方程 对一个平衡体系，给其一组虚位移（位移变分），则实际外力在虚位移上所作的虚功就等于实际应力在对应的虚应变上所作的虚功。 为i结点虚位移 对应于虚位移的的虚应变 t —为平面薄板的厚度 矩阵形式为： 其中： 在FEM中，用虚功方程代替平衡微分方程，后者不再列出。 FEM的概念，可以简述为：用结力方法求解弹力问题。即 将连续体变换为离散化结构。 再应用结力方法进行求解。 §2 有限单元法的概念 α α P 1 2 4 3 如图：将图示杆系看作由3个杆单元组成，4点是属于多个单元的点称为结点。 平衡时3个单元对结点4的作用力与外力P平衡 。 设各杆的几何及物理性质如下： 长度：l14=l34=l1 l24=l2 截面积：A14=A34=A1 A24=A2 弹性模量：E14=E34=E1 E24=E2 E1A1 E1A1 E2A2 示例： 设4点的竖向位移为δ，由结构力学方法可解得： α α P 1 2 4 3 令： 分别称为杆14和 34 、24 的劲度（刚度）。 则上式可写作： 相应结点的平衡方程可写作： K是结点处各单元的总劲度（刚度）。 α α P 1 2 4 3 另一种求解方法： 把结构为三个部分（单元），也就是三根杆，称整体离散化； 求出每一单元的单元劲（刚）度k1, k2, k1；（一般采用虚位移原理） 确定每一结点处的单元总劲（刚）度 K= k1 + k2 + k1 ； 利用结点平衡条件P= Kd 可求出结点的位移