每天一题4月.doc

1．设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求ABC面积的最大值． 【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k2x≤2k，kZ可解得f（x）的单调递增区间，由2k2x≤2k，kZ可解得单调递减区间． （Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，cosA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA，从而得解． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣ =sin2x﹣ =sin2x﹣由2k2x≤2k，kZ可解得：kx≤k，kZ； 由2k2x≤2k，kZ可解得：kx≤k，kZ； 所以f（x）的单调递增区间是k，k，（kZ）；单调递减区间是：k，k，（kZ）； （Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=， 由题意知A为锐角，所以cosA=， 由余弦定理a2=b2c2﹣2bccosA， 可得：1bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立． 因此S=bcsinA， 所以ABC面积的最大值为2．（2015?北京）已知函数f（x）=sinx﹣2sin2． （1）求f（x）的最小正周期； （2）求f（x）在区间0，上的最小值． 【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解； （2）由x0，，可求范围x∈[，π，即可求得f（x）的取值范围，即可得解． 【解答】解：（1）f（x）=sinx﹣2sin2 =sinx﹣2 =sinx+cosx﹣ =2sin（x）﹣ f（x）的最小正周期T==2π； （2）x∈[0，， x+∈[，π， sin（x）0，1，即有：f（x）=2sin（x）﹣﹣，2﹣， 可解得f（x）在区间0，上的最小值为：﹣． ．（2016?山东）设f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2． （Ⅰ）求f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（）的值． 【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数的增区间． （Ⅱ）利用函数y=Asin（ωxφ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，从而求得g（）的值． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（π﹣x）sinx﹣（sinx﹣cosx）2 =2sin2x﹣1sin2x=2?﹣1sin2x =sin2x﹣cos2x﹣1=2sin（2x﹣）﹣1， 令2kπ﹣2x﹣2kπ+，求得kπ﹣x≤kπ+， 可得函数的增区间为kπ﹣，kπ]，kZ． （Ⅱ）把y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=2sin（x﹣）﹣1的图象； 再把得到的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=2sinx﹣1的图象， g（）=2sin﹣1=． ．（2014?北京）函数f（x）=3sin（2x）的部分图象如图所示． （Ⅰ）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值； （Ⅱ）求f（x）在区间﹣，﹣上的最大值和最小值． 【分析】（Ⅰ）由题目所给的解析式和图象可得所求；（Ⅱ）由x﹣，﹣可得2x∈[﹣，0，由三角函数的性质可得最值． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=3sin（2x）， f（x）的最小正周期T==π， 可知y0为函数的最大值3，x0=； （Ⅱ）x∈[﹣，﹣， 2x+∈[﹣，0， 当2x=0，即x=时，f（x）取最大值0， 当2x=，即x=﹣时，f（x）取最小值﹣3 ．（2016?北京）已知函数f（x）=2sinωxcosωxcos2ωx（ω0）的最小正周期为π． （1）求ω的值； （2）求f（x）的单调递增区间． 【分析】（1）利用倍角公式结合两角和的正弦化积，再由周期公式列式求得ω的值； （2）直接由相位在正弦函数的增区间内求解x的取值范围得f（x）的单调递增区间． 【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωxcos2ωx =sin2ωx+cos2ωx==． 由T=，得ω=1； （2）由（1）得，f（x）=． 再由，得． f（x）的单调递增区间为]（kZ）． ．（2016?天津一模）设函数f（x）=sinxcsoxcos2x+m （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）当x﹣，时，函数f（x）的最小值为2，求函数f（x）的最大值及对应的x的值． 【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间． （Ⅱ）当x﹣，时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大值及对应