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相似矩阵的性质及应用毕业论文 一.相似矩阵的定义 定义：设A、B为数域P上两个n级矩阵，如果可以找到数域P上的n级可逆矩阵X，使得B=AX，就说A相似于B，记做. 二.相似矩阵的重要性质 性质1 数域P上的n阶方阵的相似关系是一个等价关系. 证明：1〉（反身性） 由于单位矩阵E是可逆矩阵，且A=AE，故任何方阵A与A相似. 2〉（对称性） 设A与B相似，即存在数域P上的可逆方阵C，使得B=AC ，由此可得A=CB=B，显然可逆，所以B与A相似. 3〉（传递性）设A与B相似，B与C相似，即存在数域P上的n阶可逆方阵P、Q，使B=AP，C=BQ，则 C=BQ=APQ=A（PQ），从而A与C相似. 〈证毕〉 性质2 相似矩阵有相同的行列式. 证明：设A与B相似，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得B=AC，两边取行列式得：｜B｜=｜AC｜=｜｜｜A｜｜C｜=｜A｜｜C｜=｜A｜. 从而相似矩阵有相同的行列式. 〈证毕〉 下面先介绍两个引理 引理1：设A是数域P上的n×m矩阵，B是数域P上m×s矩阵，于是 秩（AB）≤min[秩（A），秩（B）] (1) 即乘积的秩不超过各因子的秩. 证明：为了证明（1），只需要证明秩（AB）≤秩（A），同时，秩（AB）≤秩（B）.现在来分别证明这两个不等式. 设A=，B= 令，，…，表示B的行向量，，，…，表示AB行向量.由计算可知，的第j个分量和的第j个分量都等于，因而= （i=1，2，…n）. 即矩阵AB的行向量组 可经B的行向量组线性表出.所以AB的秩不能超过B的秩，也即, 秩（AB）≤秩（B）. 同样，令表示A的列向量，表示AB的列向量，由计算可知 =++…+（i=1，2，…，s）. 这个式子表明，矩阵AB的列向量可以经矩阵A的列向量组表出，前者的秩不可能超过后者的秩，这就是说，秩（AB）≤秩（A）. 证毕 引理2:A是一个s×n矩阵,如果P是个s×s可逆矩阵,Q是n×n可逆矩阵,那么 秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）. 证明:令 B=PA,由引理1知秩（B）≤秩（A）； 但是由 A=B, 又由 秩（A）≤秩（B）, 所以 秩（A）=秩（B）=秩（PA）. 同理可证, 秩（A）=秩（AQ）. 从而, 秩（A）=秩（PA）=秩（AQ）. 〈证毕〉 性质3 相似矩阵有相同秩. 证明:设A,B相似即存在数域P上的可逆矩阵C,使得 B=AC , 由引理2可知 秩（B）=秩（AC）=秩（AC）=秩（A）. 〈证毕 性质4 相似矩阵或同时可逆或同时不可逆. 证明:设A与B相似,由性质3可知 .若A可逆,即,从而故B可逆； 若A不可逆,即,从而,故B不可逆. 〈证毕〉 性质5 若A与B相似,则相似于.(n为正整数) 证明:由于A与B相似,即存在数域P上的可逆矩阵X,使得,从而 , 即 相似于. 〈证毕〉 性质6 设A相似于B,为任一多项式,则相似于. 证明:设 于是 由于A相似于B,由性质5可知相似于,(k为任意正整数) ,即存在可逆矩阵X,使得,因此 这就是说相似于. 〈证毕〉 性质7 相似矩阵有相同的特征多项式.? 证明：设A相似于B，即存在数域P上的可逆矩阵C，使得， 则 由此可见，B与A有相同的特征多项式. ???? ? 〈证毕〉 性质8：相似矩阵有相同的迹. 证明：设A相似于B。由性质7知，A与B有相同的特征多项式，因而有相同的的特征值，而A的迹trA= ??B 的迹trB=，从而，trA=trB.即相似矩阵有相同的迹. 〈证毕〉 性质9：若矩阵A与B相似，则它们有相同的不变因子和初等因子. 证明：因为A与B相似，所以它们的特征矩阵和等价，因而它们有相同的不变因子，进而有相同的初等因子. 性质10：若A与B相似，B与D相似，则与相似.?