沪科版15.2线段的垂直平分线.ppt

如初多媒体 制作中心 §15.2 线段的垂直平分线 宣城市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。 A B C 实际问题1 A B L 实际问题2 在318国道L（芜湖—宣城段）的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？ 318 国 道 线段垂直平分线的折法 做一做： 在半透明纸上画一条线段AB，折纸使A与B重合，得到的折痕L就是线段AB的垂直平分线. 想一想： 这样折纸怎么就是垂直平分线呢？ A B O A(B) A B L O L C 线段垂直平分线的画法 一操作：画线段垂直平分线 方法一 尺规画法 1.分别以点A、B为圆心，大于?AB长为半径画弧交于点E、F 2.过点E、F作直线. 则直线EF就是线段AB的垂直平分线(如图) 方法二 利用三角板过中点画垂线 二想一想 1、作法中为什么要“大于?AB长为半径”呢？ 2、为什么这样作出的直线就是线段AB的垂直平分线呢？ A B E F O 为什么这样作出的直线就是线段AB的垂直平分线呢？ 分析： 要证EF是AB的垂直平分线即AO=BO，∠AOE= ∠BOE=90° △AOE≌ △BOE(SAS) AE=BE(已作） ∠1= ∠2 OE=OE（公共边） △AEF ≌ △BEF(sss) AE=BE（已作） AF=BF（已作） EF=EF （公共边） 你能说出证明过程吗？ A B E F O 1 2 A B 线段的垂直平分线 PA=PB P1 P1A=P1B …… 命题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. P M N C 动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；量一量：PA、PB的长，你能发现什么？ 由此你能得到什么规律？ 命题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段的垂直平分线 A B P M N C ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90o 在 ΔPAC和Δ PBC中， AC=BC ∠ PCA= ∠ PCB PC=PC ∴ ΔPAC ≌Δ PBC 证明： ∵MN⊥AB ∴PA=PB 已知：如图，直线MN⊥AB,垂足为C,点P在MN上, 且AC=CB. 求证:PA=PB ∵ A B P M N C PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段的垂直平分线 线段的垂直平分线 A B P C 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端 的距离相等. PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 ? 逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定的证明 已知：线段AB ，PA=PB，如图 求证：点P在线段AB的垂直平分线上 方法一 过点P作已知线段AB的垂线PO，再证PO平分AB 方法二 取AB的中点O，再证明PO ⊥AB 方法三 作∠APB的平分线PO， 再证明 A B P O 二、(判定)定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线 一、(性质)定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 你能根据上述定理和逆定理，说出线段的垂直平分线的集合定义吗？ 三、 线段的垂直平分线的集合定义： 线段的垂直平分线可以看作是和线段两端距离相等的所有点的集合 线段的垂直平分线 例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC; B A C M N M’ N’ P PA=PB=PC PB=PC 点P在线段BC的垂直平分线上 PA=PB 点P在线段AB的垂直平分线上 分析： 结论： 三角形三边垂直平分线交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等. 你能依据例1得到什么结论？ B A C M N M’ N’ P ∴PA=PB（ ）. 同理