关于n维欧氏空间上的广义勾股定理.pdf

第 3O卷第 6期 喀什师范学院学报 Vo1．3ONo．6 2009年 11月 JournalofKashgarTeachersCollege NOV．2009 关于 维欧氏空问上的广义勾股定理 邓 勇 (喀什师范学院 数学系，新疆 喀什 844007) 摘 要 ：以向量代数为工具 ，将三维欧 氏空 间上 的勾股定理在 n维欧 氏空间上进行了推广 ，得到了广义勾股定 理 ． 关键词：勾股定理 ；Gram行列式；向量空问；平行多面体 ；体积 中图分类号 ：o184 文献标识码 ：A 文章编号 ：1006—432X(2009)06—0007—04 勾股定理是欧氏平面几何的一个核心结果 ，也 为 由向量 ，I，，2，…，， 构成的Gram行列式，其 中 是三角学的出发点．我们 已经知道 ，在欧 氏平面上 r·，，表示向量的内积 ． 将直角三角形改为一般三角形，勾股定理就被推广 定义 3 设 l’2，…，r 为 R”中的 个线 成余弦定理 了．许多文献已将欧氏平面上的勾股定 性无关向量组 ，则 理推广到了三维欧氏空间[．试 问：三维欧 氏空间 (1)由一个非零 向量 r，所决定 的一维平行多 上的勾股定理是否可 以继续推广 到 7／维欧 氏空 面体的体积为fri； 间?如果能够推广 ，那么它具有什么形式呢?下 (2)假设对于 k 的k维平行多面体的体 面 ，我们将围绕上述问题进行一些初步研究． 积已有定义．S=(r1，r2，…， )表示 由向量 r1， 1 概 念 2，…， 所生成的线性子空间，向量 +l在 s上 本文视R”中的点M 为行向量，即规定径向量 的正交分解 向量为h(如下图)，定义 r= 的坐标表达式与点M 的坐标表达 式用同 一 符号表示 ． 定义 1 设 rl，，2，…，r 为 R 中的 个线 性无关 向量组 (z≤n)，称 (’l，2，…，r)= {r：r=tlrl+t2r2+…+ ￡r ， 0≤t≤1，=1，2，…，m} ( 一，，+1)的体积 =V(r --，)的体积 -Ihl 为由向量 ，，r2，…，， 所决定 的 维平行多面 为方便起见，我们把 由r1，，2，…r 所决定的 体， 优 维平行多面体的体积仍记为 V(，1，r2，…，r)． 定义 2 设 =( 】，z2，…， )(k=1，2， 由定义3显见，若 r，r2，…，， 线性相关 ，则 … 。 2)，称 V (r1，r2，…，r，)=0．因此，今后平行 多面体 rl r2 (，．，r2，…，r)的体积总是指其 z维体积 ． ／2 ’ r2 2 引理及结论 ： ● rl