积分因子法.doc

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积分因子法

习题2—5 1. 求解下列微分方程: (1); 解 这里,因此原方程不是恰当方程,由于 , 于是原方程有积分因子 . 将它乘原方程两边,得到一个恰当方程 , 改写为 , 即 . 由此可求得通积分 . (2); 解 把方程改写为 . 容易观察出一个积分因子为,将它乘原方程两边,得 . 即 . 从而原方程的通积分为 . (3); 解 这里,因此原方程不是恰当方程,由于 , 于是原方程有积分因子 . 将它乘原方程两边,得 , 从而原方程的通积分为 . (4); 解 把方程改写为 . 不难看出,前一组有积分因子和通积分,因而它有更一般的积分因子,前一组有积分因子和通积分,故它有更一般的积分因子.为使关系式 成立,可取 ,. 从而得到原方程的积分因子,以它乘方程的两端,得到 . 从而原方程的通积分为 . 此外,原方程还有解. 2. 证明方程 ① 有形如的积分因子的充要条件是 ② 并写出这个积分因子,然后将结果应用到下述各种情形,得出存在每一种类型积分因子的充要条件: (1); (2); (3); (4); (5). 证明 方程有积分因子的充要条件是 . 令,则有 , 即满足下列微分方程 ③ 由于上式左端只与有关,所以右端亦然,因此微分方程①有形如的积分因子的充要条件是 . 求解③式得 . 将此结果应用到下列各种情形,有 (1)具有形式的积分因子的充要条件: . (2)具有形式的积分因子的充要条件: . (3)具有形式的积分因子的充要条件: . (4)具有形式的积分因子的充要条件: . (5)具有形式的积分因子的充要条件: . 5. 设函数,,,都是连续可微的,而且,是微分方程 ① 的两个积分因子,不恒为常数.试证明:是方程①的一个通积分.证明 因为,是微分方程①的两个积分因子,所以 , , 从而有 , , 故,则与函数相关,即.又且不恒为常数.又,令,所以, 而是方程①的一个通积分.故是方程①的一个通积分.

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