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积分因子法
习题2—5
1. 求解下列微分方程:
(1);
解 这里,因此原方程不是恰当方程,由于
,
于是原方程有积分因子
.
将它乘原方程两边,得到一个恰当方程
,
改写为
,
即
.
由此可求得通积分
.
(2);
解 把方程改写为
.
容易观察出一个积分因子为,将它乘原方程两边,得
.
即
.
从而原方程的通积分为
.
(3);
解 这里,因此原方程不是恰当方程,由于
,
于是原方程有积分因子
.
将它乘原方程两边,得
,
从而原方程的通积分为
.
(4);
解 把方程改写为
.
不难看出,前一组有积分因子和通积分,因而它有更一般的积分因子,前一组有积分因子和通积分,故它有更一般的积分因子.为使关系式
成立,可取
,.
从而得到原方程的积分因子,以它乘方程的两端,得到
.
从而原方程的通积分为
.
此外,原方程还有解.
2. 证明方程
①
有形如的积分因子的充要条件是
②
并写出这个积分因子,然后将结果应用到下述各种情形,得出存在每一种类型积分因子的充要条件:
(1); (2);
(3); (4);
(5).
证明 方程有积分因子的充要条件是
.
令,则有
,
即满足下列微分方程
③
由于上式左端只与有关,所以右端亦然,因此微分方程①有形如的积分因子的充要条件是
.
求解③式得
.
将此结果应用到下列各种情形,有
(1)具有形式的积分因子的充要条件:
.
(2)具有形式的积分因子的充要条件:
.
(3)具有形式的积分因子的充要条件:
.
(4)具有形式的积分因子的充要条件:
.
(5)具有形式的积分因子的充要条件:
.
5. 设函数,,,都是连续可微的,而且,是微分方程
①
的两个积分因子,不恒为常数.试证明:是方程①的一个通积分.证明 因为,是微分方程①的两个积分因子,所以
,
,
从而有 ,
,
故,则与函数相关,即.又且不恒为常数.又,令,所以,
而是方程①的一个通积分.故是方程①的一个通积分.
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