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王进明初等数论习题详细解答2013.5第九版(可打印版)
王进明 初等数论 作业解答
P1 习题1-1 1,2,,11,121.
b=30, 被除数a=12b+26=360.
这题的后面部分是小学数学的典型问题之一——“和倍” 问题:
商为12,表明被除数减去余数后是除数的12倍,被除数减去余数后与除数相加的和是除数的(12+1)倍,即是除数的13倍.
2.证:当Z且Z,则, r=0;
若n=3k +1, k∈Z,则,r=1;
若n=3k-1, k∈Z,则,r=8.
(2) 当Z时,的值是整数。
证 因为=,只需证明分子是6的倍数。
=.
由k! 必整除k个连续整数知:6 ,6 |.
或证:2!|, 必为偶数.故只需证3|.
若3|n, 显然3|;若n为3k +1, k∈Z,则n-1是3的倍数,得知为3的倍数;若n为3k-1, k∈Z,则2n-1=2(3k-1)-1=6k-3, 2n-1是3的倍数.
综上所述,必是6的倍数,故命题得证。
又证:=02+12+22+…+(n-1)2,整数的平方和必为整数。
当Z-时,-n∈Z+, 从而同样推得为整数,故命题得证。
(3) 若n为非负整数,则133|(11n+2+122n+1).利用11n+2+122n+1=1×11n +12×144 n =133×11n +12×(144 n-11 n)及例的结论.当的值总是整数
证明:=
由k!必整除k个连续整数知:,
n! |,从而由和的整除性即证得命题。
(5)当a,b∈Z且a ≠b,n是双数时,;
()当a,b∈Z且a ≠b,n是单数时,.利用例结论:若a ≠ b,则.令b=-b, 即得。或a = (a+b)-b, () 当n为双数时,由二项式展开
,证得(6) 当n为单数时类似可得3.已知a,a,a,a,a,b∈Z,说明.,则
,因为,所以8 | 4,
, 而,,,
即等式左边被8除余5, 而右边被8除余1, 故不可能这六个数都是奇数。
4.
1□2□3□4□5□6□7□8□9=10
不能,因为等式左边有单数个单数,它们的和差只能是奇数,而等式右边10为偶数。或.已知:,,均为数.证明证互质,代入方程有
即,这是不可能的,因为p,q互质,二者不可能同时为偶数。
若p为偶数,则为偶数,但是奇数,它们的和不可能为0;
若q为偶数,则为偶数,但是奇数,它们的和也不可能为0。
6.在黑板上写出三个整数,然后擦去一个,换成其他两数之和加1,继续这样操作下去,最后得到三个数为35,47,83.问原来所写的三个数能否是2,4,6?
不能.因为原来所写的三个数是2,4,6每次操作后剩下的三个数是两偶一奇.
.将199这99个自然数依次写成一排,得一多位数A=1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011…97 98 99,求A除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余数分别是多少?
由数的整除特征,2和5 看末位,∴ A除以2余1,A除以5余4;4和25 看末两位,∴ A除以4余3,A除以25余24;8和125看末三位,∴ A除以8余3,且除以125余24;3和9看各位数字的和,1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,A所有数字的和等于450, ∴ A除以3和9都余0,A除以11的余数利用定理1. 4, 计算奇数位数字之和-A 的偶数位数字之和.奇数位数字之和1+3+5+7+9+(0+1+…+9) ×9,偶数位数字之和2+4+6+8+(1+2+…+9) ×10,两者之差为-40,原数除以11的余数就是-40除以11的余数:4.
.四位数7x2y能同时被2,3,5整除,求这样的四位数.同时被2,5整除,被3整除,有4个:7020,7320,7620,7920.9.1395,那么要求的就是9765了。
10.
1.1至1001各数按以下的格式排列成表,像表中所示的那样用—个正方形框住其中的9个数,要使9个数的和等于(1)2001,(2)2529,(3)1989,能否办到?如能办到,写出框里的最小数与最大数.如办不到,说明理由.
框里x,则9个数的和等于x. (1) 9不能整除2001,∴和等于办不到;(2)x=2529,x=281,是所在行第一个数,∴和等于办不到;(3)x=1989,x=221,和等于能办到,框里的最大数为x229,最小数为x213..证:7(或11或13) 的特征是:7(或11或13)
解答:因为7×11×13=1001。(谐“一千零一夜”)而
=7×11×13××1000.
∴
附)广西师范大学赵继源主编的《初等数论》习题1—13.已知a,b,c中,有一个是2001,有一个是2002,有一个是2003,试判断(a—1)×(b—2)×(c—3)的奇偶性,并说明理由.6. 是否存在自然数a和b,使a2-b2 = 2002成立?
11.证明:当n∈Z时,6
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