1988年全国高中数学联赛试题与解答.doc

1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y=0对称，那么，第三个函数是( ) A．y=－φ(x) B．y=－φ(－x) C．y=－φ－1(x) D．y=－φ－1(－x) 2．已知原点在椭圆k2x2+y2－4kx+2ky+k2－1=0的内部，那么参数k的取值范围是( ) A．|k|1 B．|k|≠1 C．－1k1 D．0|k|1 3．平面上有三个点集M，N，P： M={(x，y)| |x|+|y|1}， N={(x，y)| eq \r((x－\f(1,2))2+(y+\f(1,2))2)+ eq \r((x+\f(1,2))2+(y－\f(1,2))2)2 eq \r(2)}， P={(x，y)| |x+y|1，|x|1，|y|1}．则 A．M eq \o(\s\up4(?),\s\do(?))P eq \o(\s\up4(?),\s\do(?))N B．M eq \o(\s\up4(?),\s\do(?))N eq \o(\s\up4(?),\s\do(?))P C．P eq \o(\s\up4(?),\s\do(?))N eq \o(\s\up4(?),\s\do(?))M D．A、B、C都不成立 4．已知三个平面α、β、γ，每两个之间的夹角都是θ，且α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c．若有 命题甲：θ eq \f(π,3)； 命题乙：a、b、c相交于一点． 则 A．甲是乙的充分条件但不必要 B．甲是乙的必要条件但不充分 C．甲是乙的充分必要条件 D．A、B、C都不对 5．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过1个整点的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷多个整点的直线的集合．那么表达式 ⑴ M∪N∪P=I； ⑵ N≠?． ⑶ M≠?． ⑷ P≠?中，正确的表达式的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题(本大题共4小题，每小题10分)： 1．设x≠y，且两数列x，a1，a2，a3，y和b1，x，b2，b3，y，b4均为等差数列，那么 eq \f(b4－b3,a2－a1)= ． 2．( eq \r(x)+2)2n+1的展开式中，x的整数次幂的各项系数之和为 ． 3．在△ABC中，已知∠A=α，CD、BE分别是AB、AC上的高，则 eq \f(DE,BC)= ． 4．甲乙两队各出7名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程的种数为 ． 三．(15分)长为 eq \r(2)，宽为1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积． 四．(15分) 复平面上动点Z1的轨迹方程为|Z1－Z0|=|Z1|，Z0为定点，Z0≠0，另一个动点Z满足Z1Z=－1，求点Z的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置． 五．(15分)已知a、b为正实数，且 eq \f(1,a)+ eq \f(1,b)=1，试证：对每一个n∈N*， (a+b)n－an－bn≥22n－2n+1． 1988年全国高中数学联赛二试题 一．已知数列{an}，其中a1=1，a2=2， an+2= eq \b\lc\{(\a\ac(5an+1－3an(an·an+1为偶数)，,an+1－an(an·an+1为奇数)．)) 试证：对一切n∈N*，an≠0． 二．如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证： eq \f(S?PQR,S?ABC) eq \f(2,9)． 三．在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l1，l2，……，ln，…的直线族，它满足条件： ⑴ 点(1，1)∈ln，(n=1，2，3，……)； ⑵ kn+1=an－bn，其中kn+1是ln+1的斜率，an和bn分别是ln在x轴和y轴上的截距，(n=1，2，3，……)； ⑶ kn