1987年全国高中数学联赛试题与解答.doc

1987年全国高中数学联赛试题 一试题(10月11日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分．本题满分20分)： 1．对任意给定的自然数n，若n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，则( ) A．这样的a有无穷多个 B．这样的a存在，但只有有限个 C．这样的a不存在 D．以上A、B、C的结论都不正确(上海供题) 2．边长为5的菱形，它的一条对角线的长不大于6，另一条不小于6，则这个菱形两条对角线长度之和的最大值是( ) A．10 eq \r(2) B．14 C．5 eq \r(6) D．12(天津供题) 3．在平面直角坐标系中纵横坐标均为有理数的点称为有理点，若a为无理数，则过(a，0)的所有直线中( ) A．有无穷多条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有n(2≤n+∞)条直线，其中每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少通过两个有理点 D．每条直线至多通过一个有理点(河南供题) 4．如图，△ABC的顶点B在单位圆的圆心上，A、C在圆周上，∠ABC=2α (0α eq \f(π,3))，现将△ABC在圆内按逆时针方向依次作旋转，具体方法如下：第一次，以A为中心使B落到圆周上；第二次，以B为中心，使C落到圆周上；第三次，以C为中心，使A落到圆周上．如此旋转直到100次．那么A点所走过的路程的总长度为( ) A．22π(1+sinα)－66α B． eq \f(67,3)π C．22π+ eq \f(68,3)πsinα－66α D．33π－66α(北京供题) 二．填空题(每小题填写结果完全正确者得8分，填写错误或多填、少填者均得0分，本题满分40分)： 1．已知集合 M={x，xy，lg(xy)} 及 N={0，|x|，y}， 并且M=N，那么 (x+ eq \f(1,y))+(x2+ eq \f(1,y2))+(x3+ eq \f(1,y3))+…+(x2001+ eq \f(1,y2001))的值等于 ．(陕西供题) 2．已知集合 A={(x，y)| |x|+|y|=α，α0} B={(x，y)| |xy|+1=|x|+|y|} 若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则α的值为 ．(青海供题) 3．若k是大于1的整数，α是x2－kx+1=0的一个根，对于大于10的任意自然数n，α eq \o(\s\up6(2n))+α eq \o(\s\up6(－2n))的个位数字总是7，则k的个位数字是 ．(河北供题) 4．现有边长为3，4，5的三角形两个，边长为4，5， eq \r(41)的三角形四个，边长为 eq \f(5,6) eq \r(2)，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成 个四面体．(江西供题) 5．五对孪生兄妹参加k个组活动，若规定：⑴ 孪生兄妹不在同一组；⑵非孪生关系的任意两个人都恰好共同参加过一个组的活动，⑶有一人只参加两个组的活动，则k的最小值为 ．(命题组供题) 1987年全国高中数学联赛二试题 一．如图，△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，现固定△ABC，而将△ADE绕A点在平面上旋转，试证：不论△ADE旋转到什么位置，线段EC上必存在点M，使△BMD为等腰直角三角形． 二．在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点称为整点．试证：存在一个同心圆的集合，使得 ⑴每个整点都在此集合的某个圆周上； ⑵此集合的每个圆周上，有且只有一个整点．(辛泽尔定理) 三．n(n3)名乒乓球选手单打若干场后，任意两个选手已赛过的对手恰好都不完全相同，试证明：总可以从中去掉一名选手，而使在余下的选手中，任意两个选手已赛过的对手仍然都不完全相同． 1987年全国高中数学联赛解答 一试题 一．选择题(每个小题选对得5分，不选得1分；选错或选出的代号超过一个者得0分．本题满分20分)： 1．对任意给定的自然数n，若n6+3a为正整数的立方，其中a为正整数，则( ) A．这样的a有无穷多个 B．这样的a存在，但只有有限个 C．这样的a不存在 D．以上A、B、C的结论都不正确(上海供题) 解：(n