第三章 数与数系发展.ppt

第三章 数与数系的发展;3.1 数的起源;3.1.1 数感;3.1.2 一一对应计数法与进位制;进位制 当计数较多的实物时，人类学会了一次用更大的单位计数的方法。 如，五进制：一五，一十，十五，二十，…… 十进制，这时从1到10的十个数都有自己的特殊名称，而从11开始，就用10的进位表示了。在英语中，eleven意指“剩下”或“比10多1”，twelve意指“比10多2”，thirteen即“3和10”，……；twenty意指“两个10 ”，而hundred则指“10个10”。;;3.1.3 度量的数;如，毕德哥拉斯学派从音调的不同高度中抽象出数的理念， 在古代中国的“黄钟起度”的传说;3.1.4抽象的数;3.1.5 神秘的数; 如，夏王朝的“天有九野，地有九州，王有九鼎，筹有《九畴》”的治国方针。夏王朝将天分为 “九天”；地为“九州”，并将州的官员称为“牧”。九州牧贡铜，铸造九鼎，以九鼎象征九州，向天下昭示自己为九州之主。 春秋时期，用于筹算的“九九”表在中国也普遍使用。这或许可以看出，神秘数与运算中的数在历史发展中的先后顺序。;3.2数的表示方法;结绳记数成为人类早期表示记数的方法;;3.2.2文字记数; 商代的甲骨文 “金文”（“钟鼎文”或“彝铭”）的十进制。个、十、百、千、万五个十进制的数字（尽管表达形式尚不统一）都能准确无误的给以表达。商代对于数字的表述尚未形成位值制，但在沿袭前人数字符号表示法的基础上，又创造了百、千、万等数字名称。;3.2.3 位值制记数法;;;;; ;;;3.2.4干支记数法;六十甲子;;中国早在商代就使用干支纪日法。干支纪年，始于东汉初年;3.3 数系在计算中发展;西方数学家更多地是研究负数存在的合理性;3.3.2无理数;;;;有理数和无理数的小数表达式;3.3.3复数;用几何的直观来认识复数;复数的公理化定义;3.3.4四元数;布尔罕桥上的顿悟——i2=j2=k2=ijk=－1。;超复数域的发展;3.4 数系的公理化;3.4.1戴德金分割;3.4.2自然数公理;3.5 超限基数;3.5.1一一对应方法与可列集;;证明有理数集Q也是可列集（采用对角线的对应方法） ;定理：如果有可数个可列集A1,A2,A3,…，则它们的并集 仍旧是可列集。;;3.5.2实数集R是不可???的;;3.5.3超限基数比大小;3.6 发展数感;