2.3 联结词的完备集课件.ppt

第二章 命题逻辑等值演算2.3 联结词的完备集 ; 五个基本的联结词：┐、∧、∨、→、?。 在实际应用中（如数字逻辑电路），可由五个基本的联结词{┐，∧，∨，→，?}产生更多的联结词：; 设p，q为二命题，复合命题“p，q之中恰有一个成立”称为p与q的异或式或排斥或式，记作p?q，?称作异或联结词。 易见：1、p?q ? (p∧┐q)∨(┐p∧q)? ┐(p?q) 2、p?q为真当且仅当p，q中恰有一个为真; 设p、q、r为三命题，若p?q?r，则p?r?q，q?r?p且p?q?r?0。;定义 蕴涵否定联结词; 设p、q为二命题，复合命题“p与q的否定”称为p与q的与非式，记作p?q，?称作与非联结词。 易见：1、 p?q ? ┐（p∧q） 2、 p?q为真当且仅当p与q不同时为真。; 设p、q为二命题，复合命题“p或q的否定”称为p与q的或非式，记作p?q，?称作或非联结词。 易见：1、 p?q ? ┐（p∨q） 2、 p?q为真当且仅当p与q同时为假。;联结词完备集 ; 因为p∨q ? ┐（┐p∧┐q） p∧q ? ┐（┐p∨┐q） p∨q ? ┐p → q p∧q ? ┐（p → ┐q）;思考题;——数字逻辑电路;门电路; 例1 设计一个控制楼梯照明的电路，使得分别装在楼梯上下两层的两只开关都能控制照明。写出控制电路的逻辑表达式并设计电路图。 解：两只开关的状态分别表示为s1，s2，“0”表示开关断开，“1”表示开关接通。用S表示楼梯的照明状态，“1”表示灯亮，“0”表示灯灭。 S?（┐s1∧s2）∨（s1∧┐s2）?s1?s2 电路图如下：; 例2 一家航空公司为了保障安全，用计算机复核飞行计划。每台计算机能给出飞行计划正确或有误的回答。由于计算机也可能发生故障，因此采用了三台计算机同时复核，再根据“少数服从多数”的原则作出判断。假设三台计算机中同时有一台以上的计算机出现故障的概率为0，试将判断结果用命题公式表示，并设计一个尽可能简单的电路图。 解：设p，q，r分别表示三台计算机的答案， S表示判断结果， “0”表示飞行计划有误，“1”表示飞行计划正确。 S?(┐p∧q∧r)∨(p∧┐q∧r)∨(p∧q∧┐r)∨(p∧q∧r) ?(q∧r)∨(p∧r)∨(p∧q) 电路图如下：; 例3 有一种电子锁，锁上共有三个键A、B和C。当三键同时按下，或A、B两键同时按下，或只有A、B其中之一按下时，锁被打开。设计该电子锁的控制电路的公式并画出电路图。 解：用“0”表示键未按下，“1”表示键按下。G表示锁的状态，“1”表示打开，“0”表示未打开。 则G?（A∧B∧C）∨（A∧B∧┐C）∨ （A∧┐B∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） ?（A∧B）∨（A∧┐B∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） ?（A∧（B∨（┐B∧┐C））∨（┐A∧B∧┐C） ?（A∧（B∨┐C））∨（┐A∧B∧┐C） ?（A∧B）∨（A∧┐C）∨（┐A∧B∧┐C） ?（A∧B）∨（（A∨B）∧┐C） ?（A∧B）∨（A∧┐C）∨（B∧┐C）;G ?（A∧B）∨（A∧┐C）∨（B∧┐C） 电子锁控制电路图如下：;课后练习 有一会议室，四周都有出入口，门旁装有开关。为了控制全室的照明，要求设计一个线路，使得改变任一只开关的状态，就能改变会议室的明暗。假设，室中无人时灯全灭，有人时等亮。写出控制电路的逻辑表达式并设计电路图。