3.1-2 周期信号傅里叶级数分析课件.ppt

第三章主要内容;5.冲激函数和阶跃函数的傅立叶变换； 6. 周期信号的傅立叶变换，包括正弦和余弦信号、一般周期信号；周期信号傅立叶级数的系数与单脉冲傅立叶变换的关系； 7.傅立叶变换的基本性质，对称性、线性、奇偶虚实性、尺度变换特性、时移特性、频移特性、微分特性、积分特性、卷积定理； 8.抽样信号的傅立叶变换9. 抽样定理。;第三章傅里叶变换;§3.1 引言; 到1807年，傅立叶已完成了关于热传理论实质部分的研究，并于1807年12月21日向法兰西研究院提交了他的研究成果。在他的研究过程中，傅立叶发现在表示一个物体的温度分布时，成谐波关系的正弦函数是非常有用的，另外，他还断言“任何”周期信号都可以用这样的级数来表示！虽然在这一问题上，他的论述是很有意义的，但是隐藏在这一问题后面的其它很多基本概念已经被其他科学家们所发现；同时傅立叶的???学证明也不是很完善的。后来1829年P.L.狄里克雷给出了若干精确的条件，在这些条件下一个周期信号才可以用一个傅立叶级数来表示，因此，傅立叶并没有对傅立叶级数的数学理论作出贡献，然而，他确实洞察出这个级数表示法的潜在威力，并且在很大程度上正是由于他的工作和断言，才大大激励和推动着傅立叶级数问题的深入研究。另外，傅立叶在这一问题上的研究成果比他的任何前驱者都大大前进了一步，这指的是他;还得出了关于非周期信号的表示??不是成谐波关系的正弦信号的加权和，而是不全成谐波关系的正弦信号的加权和。和傅立叶级数一样，傅立叶积分(或变换)仍然是分析LTI系统的最强有力的工具之一。 当时指定了四位著名的科学家和数学家来评审1807年傅立叶的论文，其中三位即S.F.拉克劳克斯、G.孟济和P.S.拉普拉斯赞成发表傅立叶的论文，而第四位J.L.拉格朗日仍然顽固地坚持他于50年前就已经提出过的关于拒绝接受三角级数的论点。由于拉格朗日的强烈反对，傅立叶的论文从未公开露过面，为了使他的研究成果能让法兰西研究院接受并发表，在经过了几次其它的尝试后，傅立叶才把他的成果以另一种方式出现在“热的分析理论”这本书中。这本书出版于1822年，也即比他首次在法兰西研究院宣读他的成果时晚15年。 ; 直到傅立叶的晚年，他才得到了某种应有的承认，但是对他来说，最有意义的称赞是他的工作已经在数学、科学和工程等如此众多的领域内产生的巨大影响。傅立叶级数和积分的分析在很多数学问题中都留下了他的足迹。象最初在振动问题和热传问题的研究中一样，在科学和工程领域中有大量的问题，正弦信号(从而傅立叶级数和变换)在其中起着很重要的作用。傅立叶级数的理论基础奠定之后，泊松、高斯等人把这一成果应用到电学中去。虽然在电力工程中，伴随着电机制造、交流电的产生和传输等实际问题的需要，三角函数、指数函数以及傅立叶分析等数学工具早已得到了广泛的应用，但是在通信系统中，普遍应用这些数学工具还经历了一段过程。因为当时要找到简便而实用的方法来产生、传输、分离和变换各种频率的正弦信号还有一定的难度。直到19世纪末人们才制造出用于; ;傅立叶的两个最主要的贡献——;将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合 ;3.2 周期信号的傅里叶级数分析; 一、周期信号三角函数形式的傅里叶级数;注意：1. 一般要单独计算； ;周期信号的另一种三角函数正交集表示;比较几种系数的关系;二、指数形式的傅立叶级数;式中记;得; 周期信号的指数型傅里叶级数:;两种傅氏级数的系数间的关系;周期信号的频谱; 振幅谱以频率(角频率)为横坐标，以各谐波振幅为纵坐标作出的图形，它直观地表示出信号所含各谐波分量振幅的相对大小。如图所示。 ;类似地，可作出各谐波初相角与频率的线图，称为相位谱。两者合称频谱图。; 周期函数的频谱：;周期复指数信号的频谱图; 2. 各（非零）分量的数目不同。;例如某周期信号的傅里叶级数为;画频谱图时注意：;例：某周期信号可如下表示，试画出其单边频谱和双边频谱。;双边幅度频谱：;例：已知某周期信号的单边频谱如图所示，试写出该信号的时域表达式，并画出其双边频谱。;周期信号频谱的特点;周期信号的功率谱;周期信号能够进行傅里叶级数展开的一组充分条件： (1)在一周期内,信号是绝对可积的,即 等于有限值. (2)在一周期内,如果有间断点存在,则间断点的数目应是有限个. (3)在一周期内,极大值和极小值的数目应是有限个.;三、函数的对称性与傅里叶系数的关系;周期偶函数只含直流和;例如:周期三角函数是偶函数;周期奇函数只含正弦项;例如周期锯齿波是奇函数;奇谐函数 ：;例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量;只含有正弦分量;类推:偶谐