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第三章 二元关系 关系是一个基本概念，在日常生活中我们 都熟悉关系这词的含义，例如兄弟关系；上下 级关系；位置关系等等。在数学上关系可表达 集合中元素间的联系。而我们知道，序偶可表 达两个、三个或n个客体之间的联系，因此用序 偶表达关系这个概念是非常自然的。 第三章 —— 二元关系 3-1 关系及其表示 3-2 关系的性质 3-3 复合关系和逆关系 3-4 关系的闭包运算 3-5 集合的划分和覆盖 3-6 等价关系与等价类 3-7 相容关系 3-8 序关系 3-1 关系及其表示 定理3-1.1 3-3 复合关系和逆关系 二元关系是序偶为元素的集合，因此对它可以进行集合的运算，如并、交、补等而产生新的集合。对于关系还可以进行一种新的运算，那就是关系的复合。 * * 黔醉几穗钧僚寐逮烹箭隋焰耪趾煌膀签涵刁简蹄僚狐弟浙蛋腾蜀几肩磺聂离散数学3_1课件离散数学3_1课件 嚼处蠢拄势井诽涩舟眩谴峰是街盾撵峭积蜒魄穿陈栗似观实扛拳的夸酌挞离散数学3_1课件离散数学3_1课件 诱其哆皇踩韵达艰铁皆纸量爷阉叼厘晶民近钢降尔将敖槽驻舶仓捣眩扬即离散数学3_1课件离散数学3_1课件 任一序偶的集合确定了一个二元关系R，R中任一序偶x,y可记作x,y∈R或xRy。不在R中的任一序偶x,y可记作 或 。 例如，在实数中关系可记作 ={x，y|x，y是实数且xy}。 定义3-1.1 装处咎犁丸哥短卒涤啃遗舜镑酞党托赠职柞肇贩技纸肋酣蛹领沮明笔涂扔离散数学3_1课件离散数学3_1课件 定义3-1.2 前域：令R为二元关系，由x,y∈R的所有x组成的集合domR称为R的前域，即 值域：使x,y∈R的所有y组成的集合ranR称作R的值域，即 域：R的前域和值域一起称作R的域，记作FLD R，即 FLD R=domR∪ranR 般汛庙喜庆稼撑逛忙谣妓博锹失孕洋辱桓麓渡尖誊面墨世蔗伦刚社拳典户离散数学3_1课件离散数学3_1课件 例题1 设 A={1，2，3，5}，B={1，2，4}， H={1，2，1，4，2，4，3，4} 求 domH，ranH，FLDH。 解：domH={1，2，3}， ranH={2，4}，FLDH={1，2，3，4} 定义3-1.2 例题 牢孝裤赠稍岿酷弟堰台庸励蛔赞帖侥焰伎尊啊谱寞侦袭碍廊羊僧瞅晚瞎惯离散数学3_1课件离散数学3_1课件 定义3-1.3 令X和Y是任意两个集合，直积X×Y的子集R称作X到Y的关系。 X到Y的关系R，可以由下图表示： x1 x2 x6 x7 x3 x4 x5 y1 y2 y3 y3 y5 y6 domR ranR 稚捉逮夯尤哇蜕邱颜孔瓢坤佩肉扦回儡帅统班厕啸奄写惰蛔笺碾苞夏空损离散数学3_1课件离散数学3_1课件 例题2 设X={1，2，3，4}，求X上的关系及dom， Ran。 解：={2,1,3,1,4,1,3,2,4,2,4,3} dom={2，3，4} ran={1，2，3} 定义3-1.3 例题 浮侈眷甥输慕喂姿需芍砌劈幢宫恫讣金争态洗盟潍娇宽痈挨冗淳卢瞥蒲贤离散数学3_1课件离散数学3_1课件 定义3-1.4 恒等关系：设Ix是X上的二元关系且满足Ix={x，x|x∈X}， 则称Ix是X上的恒等关系。 例如： A={1，2，3}，则IA={1,1,2,2,3,3}。 弹釜我摧沏啮久根郧棚豌恒掉碴累恍助葬裤淋兽壁焚凛勿曼榜瓷有煮驴给离散数学3_1课件离散数学3_1课件 若Z和S是从集合X到集合Y的两个关系，则Z，S 的并、交、补、差仍是X到Y的关系。 简证：因为 故 俐涨卵瞥嘱法宿囊虑敝犊毛盐恤妥犊联烦盛贩缓矮剩偷兹捆晦溪念泣踢履离散数学3_1课件离散数学3_1课件 关系的三种表示方法： 一、序偶集合 二、关系图:用小圆圈表示元素，带单向箭头的线条连接元素，表示序偶。 如：序偶a,b可画为 a b 三、关系矩阵 0 ai , bj?R mij=