数值分析 第7章课件.ppt

§7.1 Newton Cotes 公式;§7.0 数值积分概述;在积分区间[a,b]上取一系列点 ，设;§7.1 Newton Cotes 公式;系数 还可以进一步表示： ;令x=a+th即有 dx=hdt ，;故;故求积公式可写为;当n=1时， ;n=2可计算得到;n=4 Newton—Cotes公式为;? 二、求积公式的代数精确度(P214);都能准确成立，而对于;三、求积公式的截断误差(P208);由于 是依赖于x的函数，且在[a,b]上连 续， 故运用积分 中值定理，在 [a,b]上存在一点 使得：;定理7.2：若f(x)在[a,b]上有四阶连续导数，则辛浦生求积公式的截断误差为： ;证明：由于辛浦生公式的代数精度为3，为此构造次数小于等于3的多项式 ，使满足： ;由于 是依赖于x的函数，在[a,b]上连续， 故 可运用积分中值定理， 在[a,b]上存在一点 ，使 ;证毕; 类似地,若f(x)在[a,b]上有六阶连续导数，则柯特斯求积公式的截断误差为： ;四、Newton－Cotes公式的稳定性;如果;五、待定系数法; 则可通过给定的n+1个节点得到上述含n+1个未知数、n+1个方程的方程组。;若求积节点互异，则; 例：确定求积公式;故令求积公式对f(x)=x2成立,即;§7.2 龙贝格求积公式;一、常用的几种复化求积公式;其中;关于复化梯形公式的余项有如下定理：;故由介值定理,一定在(a,b)有一点 使 ;2.复化辛浦生公式;3.复化柯特斯公式;例子1;用积分 计算ln2,要使所得积分近似值具有5位有效数字。问用复化梯形公式，复化Simpson公式时，至少要取多少个节点?;其中;其中 由;二、区间逐次分半求积法（变步长）;对梯形公式，假定区间分为N等份时，由公式;假定f??(x)有[a,b]上变化不大，即有 ， 则;类似的，还可以得到下面的结论：;? 2.区间逐次分半的梯形公式（P212）; 据此我们得到复化梯形公式区间逐次分半时的递推计算公式：;§7.3 Romberg求积法 ;（1）;（2）; 上述用若干个积分近似值推算出更为精确的积分近似值的方法，称为外推算法。得到Romberg序列后还可以继续外推，得到新的求积序列，称为Richardson外推算法。但由于在新的求积序列中，其线性组合的系数分别为：;二、Romberg算法的实现 ; 对上面的T数表作计算，一直到Romberg序列中前后两??之差的绝对值不超过给定的误差限为止。;§7.4 Gauss型求积公式;一、Gauss型求积公式;定理：插值型求积公式中的节点 是高斯点的充要条件是，在[a,b]上，以这些点为零点 的n+1次多项式 与任意次数不超 过n的多项式P(x)正交，即;证明： ;充分性 ：;所给的求积公式是插值型的，其代数精度至少为n。 ;两条结论： ;当高斯点确定以后，高斯系数;二、Legendre多项式;例： 一次Legendre多项式及其零点为：;三、Gauss-Legendre求积公式; 实际上我们可以给出任意次Gauss-Legendre求积公式在任意区间上的节点与系数，从而得到任意区间上的Gauss-Legendre求积公式。;四、Gauss型求积公式的截断误差;由于高斯型求积公式的代数精度为2n+1，故 ; 高斯型求积公式具有代数精度高、且总是收敛、稳定的优点。但当求积节点数增加时，前面的函数值不能在后面利用。因此，有时也可以将区间分化成若干个小区间，在每个小区间上应用低阶的Gauss型求积公式，即复化高斯求积公式。;§7.5 数值微分;则有：;中点公式：; 给出列表函数 ，可建立插值多项式 ，取 作为 的近似函数，则称为 插值型求导公式。;确定节点， 上的导数值，有余项;2.一阶三点公式 ;3.二阶三点公式 ;Remark1：在数值微分计算中，并非步长越小精度越高。这是因为数值微分对舍入误差非常敏感，它随步长h的缩小而增大，导致计算不稳定。