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矩阵乘法及其应用研究
矩阵乘法及其应用研究
北京交通大学 张作泉 李琦
一、引言
矩阵是数学中的一个很重要的基本概念,许多实际问题的数量关系均可用矩阵的概念来
描述,它有着极其广泛的应用。但应该注意的是,矩阵的一切深刻性质和重要应用都源自矩
阵的乘法,本文就是针对矩阵的乘法及应用作进一步的分析和探讨。
在数学史上,19 世纪挂大律师招牌的大牌数学家凯莱(Cayley)和西尔维斯特
(Sylvester)对矩阵代数做出了很大的贡献。矩阵一词是西尔维斯特于 1850 年首次定义的
数学专用名词,而矩阵的乘法是由凯莱首次定义的。在 1857年,凯莱研究平面上的点(x , y )
变换成点(x , y ) 的问题。(x , y ) 与(x , y ) 的关系是
x ax +by
⎧
⎨ (1) 其中 a, b, c, d 为实数。
y cx +dy
⎩
⎛a b⎞
他把(1)式右端的系数记成 A ⎜⎜⎝c d ⎠⎟⎟,这个记号是个了不起的数学发明,它不是
一种简化作用的符号,而是内容十分丰富的一个算子,表示一种新的运算,这种运算称为线
性变换。
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
(x , y ) 线性地变换成另一点 (x , y ) ,记为 A ,线性当然是指
(1)式把点 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
y y
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(x , y ) 又变成点(x , y ) ,其公式是
(1)中的两个方程均为一次方程。类似地,点
x ex+ey
⎧
⎨ (2)
y gx +hy
⎩
x (ea +fc )x +(eb +fd )y
⎧
计算可知,⎨ (3)
y (ga +hc)x +(gb +hd )y
⎩
⎛e f ⎞
(2)对应的矩阵为 ⎜ ⎟
B ⎜ ⎟
⎝g h ⎠
⎛ea +fc eb +fd ⎞
(3)对应的矩阵为 ⎜ ⎟
C ⎜ ⎟
⎝ga +bc gb +hd ⎠
凯莱把(1)(2)(3)分别写为
x x x x x x
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