矩阵乘法及其应用研究.PDF

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矩阵乘法及其应用研究

矩阵乘法及其应用研究 北京交通大学 张作泉 李琦 一、引言 矩阵是数学中的一个很重要的基本概念,许多实际问题的数量关系均可用矩阵的概念来 描述,它有着极其广泛的应用。但应该注意的是,矩阵的一切深刻性质和重要应用都源自矩 阵的乘法,本文就是针对矩阵的乘法及应用作进一步的分析和探讨。 在数学史上,19 世纪挂大律师招牌的大牌数学家凯莱(Cayley)和西尔维斯特 (Sylvester)对矩阵代数做出了很大的贡献。矩阵一词是西尔维斯特于 1850 年首次定义的 数学专用名词,而矩阵的乘法是由凯莱首次定义的。在 1857年,凯莱研究平面上的点(x , y ) 变换成点(x , y ) 的问题。(x , y ) 与(x , y ) 的关系是 x ax +by ⎧ ⎨ (1) 其中 a, b, c, d 为实数。 y cx +dy ⎩ ⎛a b⎞ 他把(1)式右端的系数记成 A ⎜⎜⎝c d ⎠⎟⎟,这个记号是个了不起的数学发明,它不是 一种简化作用的符号,而是内容十分丰富的一个算子,表示一种新的运算,这种运算称为线 性变换。 x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (x , y ) 线性地变换成另一点 (x , y ) ,记为 A ,线性当然是指 (1)式把点 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ y y ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (x , y ) 又变成点(x , y ) ,其公式是 (1)中的两个方程均为一次方程。类似地,点 x ex+ey ⎧ ⎨ (2) y gx +hy ⎩ x (ea +fc )x +(eb +fd )y ⎧ 计算可知,⎨ (3) y (ga +hc)x +(gb +hd )y ⎩ ⎛e f ⎞ (2)对应的矩阵为 ⎜ ⎟ B ⎜ ⎟ ⎝g h ⎠ ⎛ea +fc eb +fd ⎞ (3)对应的矩阵为 ⎜ ⎟ C ⎜ ⎟ ⎝ga +bc gb +hd ⎠ 凯莱把(1)(2)(3)分别写为 x x x x x x

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