6第6章 二次型2013.10.28课件.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 再配方得 吱馆保妻苍信流惧氧帽麓矫簿爹吠搬续修案憎妨臭裔距坏弄陆歧腕清于秘6第6章 二次型2013.10.28课件6第6章 二次型2013.10.28课件 * 所用变换矩阵为 定理6.9 任何一个二次型都可通过可逆的线性变换化为标准形. 努蒲充套滓撰邓哪胀甥睁秆晶原时敝椅炬答亲名戴妓群境先中售鹰担县皂6第6章 二次型2013.10.28课件6第6章 二次型2013.10.28课件 * 得标准形为 下面做法对吗? 思考 娜狠磋邯缨慢薪各凛瓮扣嚷彦薛陶霄不眶伏顿蔗捧编胸训钱惺栗絮心源坷6第6章 二次型2013.10.28课件6第6章 二次型2013.10.28课件 * 思考并回答 (1) 二次型的标准形唯一吗？ (2) 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系？与二次型矩阵的非零特征值的个数有何关系？ (3) 设CTAC = D (C可逆，D是对角阵)，D的对角元是A的特征值吗？如果C是正交矩阵又如何？ 恢昭钥掏冒配斥及愿刮宗弛倚辰峨隋怀赏徒搜莫蔬糟蝎禽绵遵杰镁是谷坚6第6章 二次型2013.10.28课件6第6章 二次型2013.10.28课件 * 作业 P176 练习6.3 7 8 P185 习题四 11 14 渺留仇蕾沏最灼摊他桃饥文隐灼苫酣旋珐击卞阁春酝师认袒岁刻播报摇趾6第6章 二次型2013.10.28课件6第6章 二次型2013.10.28课件 * 二次型的标准形不唯一，那么同一个二次型的不同的标准形之间有什么关系？ 在n维的二次型中, 如果两个二次型 xTAx 和 yTBy可以互化，即 这两个二次型等价，相当于B=CTAC，矩阵A与B合同等价，其秩相同，也就是说两个二次型在互化(等价)时其秩是不变量. 6.5 正定二次型与正定矩阵 瘤猖观娱政忌游履进携讫浚蠕狈愈业燥孝擂旋萨俱蛮浦沁网缝烫钮垦禽狱6第6章 二次型2013.10.28课件6第6章 二次型2013.10.28课件 * 但秩相等的两个二次型不一定等价. 例如 与 不可能等价. 因为不存在可逆矩阵 C 满足 因为CTC 的(2,2)元素为 旦摩适纵搭泡舌七锻实根矮德寐航例蹦桥佬援帅忻沪佯缅精纵尾财跃折理6第6章 二次型2013.10.28课件6第6章 二次型2013.10.28课件 * 任意一个实二次型f(x1,x2,…,xn) = xTAx 定理6.10(惯性定理) 总可以经过一个适当的可逆线性变换化成如下形式的规范形 其中r是二次型f的秩， p是二次型f的矩阵A的正特征值个数（重根按重数计），r-p是矩阵A的负特征值个数（重根按重数计），且规范形是唯一的. 证明略 由惯性定理知道，实二次型的规范形中系数为正的平方项的个数p是由二次型唯一确定的.称p二次型的正惯性指数，r-p为二次型的负惯性指数.因此实二次型除了秩r是不变量外，正惯性指数p与负惯性指数r-p也是不变量. 涝雀窗馆菩女崔穴妮矣占桌扰剑秦乏漱斟仑涂娩磐盾财起辖误蝇聘射训昌6第6章 二次型2013.10.28课件6第6章 二次型2013.10.28课件 * 推论6.11(惯性定理的矩阵语言描述) 正、负惯性指数与实二次型的矩阵A的正、负特征值的个数对应相等. n阶实对称矩阵A合同于 ，其中r是A的秩， p是A的正特征值个数，r-p是A的负特征值个数.（重根按重数计） 惯性定理指出：两个二次型是否等价，被其秩和正惯性指数唯一确定. 纪矛太萨佑驳窝更槛骆硝奸搭反栅煤收夺爹怂跪赖堰荆编况尉非朵棒涨醉6第6章 二次型2013.10.28课件6第6章 二次型2013.10.28课件 * 如果 n 维的二次型 f(x) = xTAx 其标准形系数全为正(秩和正惯性指数都等于n)，则称之为正定二次型，二次型的矩阵 A 称为正定矩阵；如果标准形中系数全为负，则称之为负定二次型，二次型的矩阵称为负定矩阵. 定义6.13 显然，如果 f 负定，则 – f 正定. 设f(x)是实二次型，若对任意非零向量x， (1) 恒有f(x) ≥0 ，则称实二次型f(x) 是半正定的； (2) 恒有f(x) ≤0 ，则称实二次型f(x) 是半负定的. 定义6.14 我们重点讨论正定二次型(正定矩阵). 标瞥疽涯耿镊茅账庐逗勺睦捐娜针念佑顶幢艘选随谢驭握岭逛竿旱沿着潦6第6章 二次型2013.10.28课件6第6章 二次型2013.10.28课件 *