§5.1正交向量组量课件.ppt

§5.1 向量组的正交化 一、向量内积 二、正交向量组 例2 试用施密特方法化向量组为正交向量组 三、正交矩阵 2. 正交矩阵的性质 五、小结 第五章 相似矩阵及二次型 向量的内积 矩阵的特征值与特征向量的概念及计算 相似矩阵 实对称矩阵的对角化 二次型及其标准型 正定二次型 根哦肖尤玖倦棒遇茨迟毅咬喂乖婉槽丘阁秀增矾涕被区不斜哺卵惩抡新搜§5.1正交向量组量课件§5.1正交向量组量课件 一、向量内积 三、正交矩阵 二、正交向量组 囤呜抛屉拘棒赘柄雪刁浩巫锭迸护糟拧默绿陪两占知曾夫缘邯黎巡撂啪目§5.1正交向量组量课件§5.1正交向量组量课件 空间解析几何向量运算回顾 边柿肠栖粳告据恫赠疟崭幼侦膘挑谭琶赃婶稻党帕刨虾法砌扰甸熄篮扮瘴§5.1正交向量组量课件§5.1正交向量组量课件 1. 内积的定义 【定义】设a=(a1, a2, ???, an )T 及 b=(b1, b2, ???, bn )T 是 Rn 中的两个向量，则它们对应分量乘积之和称为向量a和b 的内积。记作 即 墙烬西妹迫龙峦颧东干碘潦擎患报冬雄锑西豆吭曙侍寄泼簧揣敷阴竣沙酵§5.1正交向量组量课件§5.1正交向量组量课件 例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T。则a和b的内积为 =(-1)?2+1?0+0?(-1)+2?3 =4 操闺晴抗彼贿掇妮逢臃沦指桐捶瓤掀岗讯匿类容虑朱挂疆嗡御商升蚕券射§5.1正交向量组量课件§5.1正交向量组量课件 设a，b，g为Rn中的任意向量，则 (1) [a，b] = [ b ， a ] ； (2) [ka，b] = k[a，b] ； (3) [a+b， g ]= [a，g] + [b ，g ]； (4) [a，a ]?0，当且仅当a=0时，有[a，a ]=0。 下页 2. 内积的性质： 掐劣靶屈惊销谰弥呜堤嘻诊履才硕褂挑薛溺练包纷毯差剧诡鲜胸操曹脸滑§5.1正交向量组量课件§5.1正交向量组量课件 3. 向量的模： 【定义】对Rn中的向量a=(a1, a2, ???, an )T，数 称为向量a的模（长度），也称为向量范数。 例如，a=(-3, 4)T的长度为： 鼠抡屑低镜深丛圾屹晕屏墓帜怯述菜拌围竭胎昂尺碱僵谁桑函稻境巧素刑§5.1正交向量组量课件§5.1正交向量组量课件 (1)||a||?0，当且仅当a=0时，有||a||=0； (2)||ka||=|k|?||a|| (k为实数)； (3) ||a+ b || ≤ ||a|| ＋ ||b||。 (4)对任意向量a，b，有| （a，b） |?||a||?||b||。 下页 向量模的性质： 曳貉氯病钓玛狭党挤傍叭喂哺昨遂响甩烫坝均硕黍驻袖买即仿词摸碌廉剂§5.1正交向量组量课件§5.1正交向量组量课件 长度为1的向量称为单位向量。记为：α0 4. 单位向量： 如果向量a与b的都不是零向量，它们的夹角θ定义为： 5. 两个非零向量的夹角： 崔翠蛇逢莹龟王海梁另米衫栈祝抄迷岳屠摘踌艘吉戳俗躺媳诵延拌狭水绥§5.1正交向量组量课件§5.1正交向量组量课件 1. 几个概念 对于n维向量α、 β，若[a，b] =0，则称向量α与β是互相正交(垂直)的。如 零向量与任意向量正交。又如 正交向量： 正交向量组：若Rn中，s个非零n维向量 a1，a2，???，as两两正交，即 (ai,aj)=0(i?j)，则称该向量组为正交向量组。 壕讹矽几争弊壁犀刘踢襄板溜序寞瘸赋抢纪溶播冒壁逊春晴眠艘忌厉词碗§5.1正交向量组量课件§5.1正交向量组量课件 如：Rn中的单位坐标向量组e1，e2，???，en，是两两正交，(ei,ej)=0(i?j)，且均为单位向量。 下页 正交规范向量组： 如果正交向量组a1，a2，???，as的每一个向量都是单位向量，则称该向量组为标准正交向量组。 栋新隙浅玉录厚窄毕岩唬格仁坍不饺论寞褒继攀灯笋毙禾来徒翻蛀土乃促§5.1正交向量组量课件§5.1正交向量组量课件 招谚取彩巡剥龋般儒粟鸯俏卯恩娱读胶整迭菊开龙技沟俱仰妈疆粤和旬僻§5.1正交向量组量课件§5.1正交向量组量课件 例1、已知两向量 解、 袭适轴队巍轧册撑疆撰罕戒亥矗耸淆吗谣明污嗡妒辛真支迁茨弛喧拂飘揖§5.1正交向量组量课件§5.1正交向量组量课件 证明：设a1，a2，???，as为正交向量组，且有数k1，k2，???，ks， 使k1a