61-65 无限脉冲响应数字滤波器的设计.ppt

6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 IIR数字低通滤波器的设计过程是：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到其传输函数Ha(s)，再按一定的转换关系将Ha(s)转换成数字低通滤波器的系统函数H(z)。设计的关键是找到转换关系，将s平面的Ha(s)转换成z平面的H(z)。为了保证转换后的H(z)是稳定的且满足技术要求，对转换关系有两点要求： 1）因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。模拟滤波器因果稳定要求其传输函数Ha(s)的极点全部位于s平面的左半平面；而数字滤波器因果稳定则要求H(z)的极点全部在单位圆内(为什么?)。因此，转换关系应是s左半平面映射到z平面的单位圆内部。 2）数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上（为什么？），相应的频率之间成线性关系。 将传输函数Ha(s)从s平面转换到z平面的方法有多种，工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。 设模拟滤波器的传输函数为Ha(s)，对应的单位冲激响应是ha(t)，即 LT[.]为拉氏变换，对ha(t)进行等间隔采样，周期为T，则得到h(n)=ha(nT)，并作为数字滤波器的单位取样响应，则数字滤波器的系统函数H(z)便是h(n)的z变换。 脉冲响应不变法: 是一种时域上的转换方法,它使得h(n)在采样点上等于模拟滤波器的单位冲击响应ha(t),即 h(n)=ha(nT) 设Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示： 对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z): 对比(6.3.1)和(6.3.4)，Ha(s)的极点 设ha(t)的采样信号表示为： s平面和z平面之间的映射关系---- 冲击响应不变 或有 即,采样信号的拉氏变换与对应Z变换之间的映射关系为： 将s=j? 代入上式得： 由(6.3.5)和(6.3.8)得到： 上式表明：将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按周期?s=2?/T延拓后，再按式(6.3.6)映射关系，映射到Z平面上，就得到H(z)。 为进一步分析这种映射关系，设 由式(6.3.6)有： 得到： 则有映射关系： 表明，s平面的虚轴(?=0)映射Z平面的单位圆(r=1)，s平面左半平面(? 0)映射Z平面单位圆内部（r1)。。。说明，如果Ha(s)因果稳定，转换后得到的H(z)依然因果稳定! 当?不变时，模拟频率?变化2?/T的整数倍时，映射不变。 换句话说，将s平面沿虚轴分割成一条条宽为2?/T的水平带，每条水平带都按照 z=esT 的映射关系对应着整个Z平面。如图6.3.1。 当模拟频率?从 -?/T变化到?/T时，数字频率?则从-?变化到?，即 ?=?T 成线性关系。 ?：找出s平面的阴影区和z平面单位圆内部对应部分 图6.3.1 脉冲响应不变法s平面和z平面之间的映射关系 因为从模拟信号ha(t)到采样信号的拉氏变换(6.3.8)是 以2?/T为周期,沿虚轴进行周期化的.如果原信号的频带超出±?/T的话,便会在±?/T的奇数倍附近产生频率混叠, 从而映射到z平面时,在ω=±?附近将产生频率混叠.(如图6.3.2) 但是，该方法会产生频率混叠现象! 图6.3.2 脉冲响应不变法的频谱混叠现象示意图 按照(6.3.9)，得到频响关系（？）： 上式中， 的幅度特性与采样周期成反比，当 T较小时， 的幅度会太高。为避免这一现象。 说明用脉冲响应不变法设计的数字滤波器可以很好地重现原模拟滤波器的频响。 令 则(6.3.4)为 此时 综上所述，脉冲响应不变法的优点是：频率坐标变换是线性的，即?=?T，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器能很好地重现原模拟滤波器的频率特性（？）。另一个优点是：数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好（？）。缺点是：会产生频率混叠现象，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计(为什么？）。 一般Ha(s)的极点si是一个复数,且以共轭成对的形式出现, 如: 上式为一对复数共轭极点放在一起,形成一个二阶基本节. 分解为: 套用(6.3.4)有: 整理得: 脉冲响应不变法的缺点是会产生频率混叠现象，产生的原因是模拟低通的最高截止频率超过了折叠频率?/T, 在数字化后产生了频谱混叠，映射到Z平面后， 结果在?= ? 附近形成频谱混叠现象。 为了克服这一缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴的频率范围压缩到??/T之间，再映射