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作业 对卡尔曼滤波器的理解与验证 作者：lestjjh 一、卡尔曼滤波器的基本原理 卡尔曼滤波器和傅立叶变换、泰勒级数一样是用卡尔曼的名字命 名的。它的基础是Wiener 的维纳滤波理论，维纳滤波需要用到无限 个过去的数据，并不适用于实时处理。而卡尔曼把状态空间模型引入 滤波理论，从而克服了这一缺点。状态空间模型是动态时域模型，以 隐含着的时间为自变量。它包括两个模型：一是状态方程模型，反映 动态系统在输入变量作用下在某时刻所转移到的状态；二是输出或量 测方程模型，它将系统在某时刻的输出和系统的状态及输入变量联系 起来。引入状态向量是为了对系统内部结构进行数学描述，但在许多 情况下，系统的状态是无法直接测量到的。在实际工作中，测量到的 量只有系统的输入与输出。 卡尔曼滤波建立在线性代数和隐马尔可夫模型上。其基本动态系 统可以用一个马尔可夫链表示，该马尔可夫链建立在一个被高斯噪声 (即正态分布的噪声)干扰的线性算子上的。系统的状态可以用一个元 素为实数的向量表示。随着离散时间的每一个增加,这个线性算子就 会作用在当前状态上，产生一个新的状态,并也会带入一些噪声,同时 系统的一些已知的控制器的控制信息也会被加入。同时，另一个受噪 声干扰的线性算子产生出这些隐含状态的可见输出。 为了从一系列有噪声的观察数据中用卡尔曼滤波器估计出被观察 过程的内部状态，我们必须把这个过程在卡尔曼滤波的框架下建立模 型。也就是说对于每一步k，定义矩阵A,H, Q, R，有时也需要定义 B矩阵，如下图。 图1卡尔曼滤波器基本模型 圆圈代表向量，方块代表矩阵，星号代表高斯噪声，其协方差矩 阵在右下方标出。卡尔曼滤波模型假设k时刻的真实状态是从(k − 1) 时刻的状态演化而来，符合下式：         x k Ax k1Bu k wk1 其中 x[k]为k时刻的系统状态向量。 x[k-1]为k-1时刻的系统状态向量。 u[k]为k时刻的激励向量，大多数情况下并没有激励输入项。 A是作用在x[k−1]上的状态变换模型，它是x[k-1]向x[k]转换的转 移矩阵，它将k-1时刻状态和当前的k时刻状态联系起来。 B是作用在控制器向量u[k]上的输入控制模型，也就是控制增益。 w是过程噪声，并假定其符合均值为零，协方差矩阵为Q的多元正态   分布w ~ N 0,Q 。 时刻k，对真实状态 x[k]的一个测量z[k]满足下式:       z k Hx k v k 其中H是观测模型,它把真实状态空间映射成观测空间也叫量测方 程，v是观测噪声，其均值为零，协方差矩阵为R,且服从正态分布   。 v ~ N 0,R 图2卡尔曼滤波器实现 初始状态以及每一时刻的噪声{x0,w1, ...,wk, v1...vk} 都 认为是互相独立的。他们的协方差Q，R这里我们假设他们不随系统 状态变化而变化。对于满足上面的条件(线性随机微分系统，过程和 测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。实际上， 很多真实世界的动态系统都并不确切的符合这个模型；但是由于卡尔 曼滤波器被设计在有噪声的情况下工作,一个近似的符合已经可以使 这个滤波器非常有用了。 二、卡尔曼滤波器的算法 下面我们来结合状态方程和量测方程的协方差来估算系统的最 优化输出。首先我们要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。 假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状 态而预测出现在状态：         x k |k1 Ax k1|k1Bu k1