- 1、本文档共12页,可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
第33讲 复数综合复习
复数
【知识梳理】
1、数系:;
2、复数的代数形式:,(实部),(虚部);
3、虚数单位:规定,称为虚数单位;
【注】虚数单位的运算性质
①,,,;②;
4、设,则
①为虚数;
②为纯虚数,;
③为实数;
④.
【注】两个常用的充要条件
①为实数的充要条件:;
②为纯虚数的充要条件:;
5、复数相等:设,,则;
6、虚数不能比较大小;
7、复数的坐标
复数可用点表示,建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,这样复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,轴叫做实轴,轴叫做虚轴.借助一一对应,复数还可以表示为向量,由此复数的加法与减法运算满足平行四边形法则.
【注】实轴上的点都表示实数. 对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为, 它所确定的复数是表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
8、复数的模:,则;
9、共轭复数:实部相等,虚部互为相反数,即,则;
10、复数的线性运算
设,,则
①
②;
③;
④(分母实数化);
11、复数的运算律
①(加法交换律);
②(加法结合律);
③(乘法结合律);
④(乘法对加法的分配率);
12、共轭复数的性质
①;②;③;④;⑤
13、复数的模的运算性质
①;②;③;④;
⑤;⑥;
⑦;
14、的立方根的性质:,
①;②,;③,;
④;⑤;⑥,;
15、几个常用的复数
①;②;③;④;
16、实系数一元二次方程
对于实系数一元二次方程
当时,方程有两个不相等的实根;
当时,方程有两个相等的实根;
当时,方程有两个共轭虚根;
17、实系数一元二次方程的常见的几种计算
设为实系数一元二次方程
①,;
②;
③;
18、复系数一元二次方程
设为复系数一元二次方程)的两个根,则有:
,此时韦达定理依然成立,即:,;
【注】复系数方程一般采用待定系数法,结合复数相等求解;复系数一元二次方程虚根不一定成对,成对也不一定共轭.
19、复数的几何意义
①表示复数、对应的点、之间的距离,即;
,则表示对应的点的轨迹为以的对应点为圆心,为半径的圆;
,则表示对应的点的轨迹为线段的垂直平分线;
则表示对应的点的轨迹为以的对应点为焦点,长轴长为的椭圆
【注】若,此对应的点的轨迹为线段;
则表示对应的点的轨迹为以的对应点为焦点,实轴长为的双曲线
【注】若,此对应的点的轨迹为两条射线.
称为复数的三角形式,为模,为辐角,若,则称为辐角主值.
①;
;
(棣莫弗定理).
若复数,则它的方根是以下个复数:
.
设个单位根为,,(,,其中,),则有
①;②,;③,;
④;⑤;⑥
【典型例题】
例1、已知、、为复数
①若是非零复数,则一定是纯虚数若复数满足,则是纯虚数
③若,则且一定是实数
⑤若,则;
⑦; ⑧复数(),当时,为纯虚数;
【练习】已知、、、为复数
①若,那么;②如果,那么;
③为实数,且;④满足的复数只有1,
⑤; ⑥复数的充要条件是
例2、设为原点,复数在复平面内对应的点分别为,则下列结论中不一定正确的是( )
A. B.
C. D.
例3、已知复数
(1)为何实数时,为实数?
(2)为何实数时,为纯虚数?
(3)为何实数时,在复平面上所对应的点第三象限?
的值,使复数是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
例4、复数在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数________.
【练习1】若复数是纯虚数(是虚数单位,为实数),则________
【练习2】设复数满足,其中为虚数单位,则________.
【练习3】若,,且为纯虚数,则实数________.
【练习4】已知和都是纯虚数,那么________.
例5、设为实数,且,则________.
【练习1】若复数,其中是虚数单位,则_______.
(为虚数单位),则________.
【练习3】已知,且为的共轭复数,若(是虚数单位),则=________.
【练习4】关于的方程(其中为虚数单位),则方程的解________.
【练习5】________.
例6、若复数,则___________.
,其中为虚数单位,是的共轭复数,则________.
【变式2】已知,则________.
【变式3】已知,则________.
【变式4】已知,,则________.
【变式5】设的模均为,则________.
【变式6】【2011华约已知,,则
例7、已知是虚数单位,则
①________.
②________.
【练习】已知,则________.
非零复数满足:,则_______.
满足,则
①________. ②________.
③________.
【变式2】若,且,则 .
设为虚数,且,在_______.
满足:,且,求
【
文档评论(0)