第3章 拉普拉斯变换.ppt

六.时域积分 若 则 如果 则 七. s域微分 若 则 八. s域积分 若 则 习题： 解： 112页 3-2 6 利用S域积分性质，有： 习题： 112页 3-2 9 解： 利用S域微分性质，有： 九. 初值定理 设 及 存在并有拉氏变换，则 的初值为： 十. 终值定理 若 及 有拉氏变换， 且 的所有极点都位于 平面的左半平面（原点处可有单极点），则 的终值为： 稳定条件 所有极点位于左半 平面 习题： 解： 113页 3-9 1 初值 终值 十一.卷积定理 若 则 1.时域卷积定理 2.频域卷积定理 若 则 习题： 解： 113页 3-7 17 利用时移性质： 习题： 解： 113页 3-7 18 利用 域微分性质： 习题： 解： 113页 3-8 5 习题： 解： 113页 3-8 6 因为 再利用时移性质，有： 利用时域积分性质： 作业 3-2、3-3、3-7（1-14小题）、3-9 信号与系统 第3章 拉普拉斯变换 3.1 引言 ●连续、线性、非时变系统的强有力工具 ●从数学角度看， 是求解常系数线性微分方程的工具。 其主要优点表现在： （1）同时可以给出微分方程的特解和齐次解； （2）将时域的微积分运算转换为复频域的代数运算； （3）某些不满足狄利赫莱条件的函数，不能进行傅里 叶变换，但可以进行拉氏变换； （4）将时域中卷积运算转换为变换域中的乘法运算。 3.2 拉普拉斯变换 ●引入思想 有些函数不满足绝对可积条件， 是因为 减幅太慢。 用衰减因子 去乘 。 则应取不同的衰减因子。 如果一个衰减因子不能使得 和 时都能衰减， 为了满足绝对可积条件， 满足狄利赫莱条件 ●拉氏变换定义 对函数 进行傅里叶变换， 以 表示，有： 令 ， 以 代替 ，则有： 对 即 求傅里叶反变换,有: 双边拉氏变换 记为： 在工程实际中，信号大都是有始函数， 时，函数值为零。 单边拉氏变换 记为： ●拉氏变换的物理意义 复指数分量之和， 拉氏变换的物理意义则是把 分解为 傅里叶变换的物理意义是把 分解为许多形式为 的 许多形式为 的指数分量之和。 ●拉氏变换与傅里叶变换的关系 当 时， 拉氏变换 傅里叶变换 拉氏变换是傅里叶变换的推广， 傅里叶变换是拉氏变换的特例。 3.3 拉普拉斯变换的收敛域 例如： 单位阶跃信号 指数信号 收敛域 ●收敛域概念: 使f(t)e-σt满足绝对可积条件的σ值的范围成为拉普拉斯变换的收敛域。 ●拉氏变换的收敛域 （1）双边拉氏变换的收敛域 收敛域 收敛域 双边拉氏变换收敛域存在的条件是： （2）单边拉氏变换的收敛域 单边拉氏变换收敛域必定存在， 不再说明是否收敛的问题。 3.4 常用函数的拉普拉斯变换 1.单位阶跃函数 2.指数函数 3.幂函数 即 依此类推，有： 4.正弦函数 同理可得： 即 5.衰减正弦函数 即 同理可得： 6.双曲正弦函数 7.单位冲激函数 练习： （1） （2） （3） 解： （1） （2） （3） 本章作业 常用函数拉氏变换推导 3-1 3.5 拉普拉斯反变换 一.部分分式展开法 设 上式中： 且，反变换的条件是 为真分式， 即 如果 ，则 要先化为真分式。 例如： 真分式 1. 的根为实根且无重根 将上式展开为 个部分分式之和： 系数 也是 的极点。 的根 称为特征根， 例： 已知 ，求 。 解： 练习： 已知 ，求 。 解： 练习： 已知 ，求 。 解： 可按实根的方法处理， 也可采用配方法。 例如： 特征根 2. 的根含有共轭复根 例： 已知