第3章(二)计算机组成原理.ppt

第3章计算机中信息的表示和数值运算 3.3 定点数的运算 3.3.1 移位运算 3.3.2 补码加减运算与溢出 3.3.3 乘法运算 3.3.4 除法运算 3.3.1 移位运算 移位运算在计算机中有着非常重要的意义。例如在计算机中没有乘、除法运算的实现时，可以用移位与加、减法运算相结合的办法进行处理。 对定点表示的数据，计算机中小数点的位置是事先约定的，因此，二进制表示的机器数在相对于小数点作n位左移或右移时，其实质就是对该数乘以或除以2n。由于计算机中机器数的字长往往是固定的，当机器数左移或右移时，必然会使数据的低位或高位出现空位，对空位是进行补0还是补1与机器数表示的是有符号数还是无符号数有关，对于有符号数的移位叫算术移位。 对于正数，由于[X]原=[X]补=[X]反=真值，故移位后出现的空位均以0进行补充。对于负数，由于原码、补码和反码的表示形式不同，故当机器数移位时，对其空位的填充规则也不同。表3-12列出了三种不同码制的机器数移位后的添补规则。必须注意的是：不论是正数还是负数，移位后其符号位均不变，这是算术移位的重要特点。 表3-12 不同编码机器数移位后的添补规则 由上表可得出如下结论： （1）机器数为正时，不论左移或右移，添补代码都为0。 （2）由于负数的原码其数值部分与真值相同，故在移位时不论左移或右移，只要使符号位不变，其空位均补0。 （3）由于负数的反码其数值位表示与真值正好相反，故移位后添补的均为1（此时仍需保持符号位不变），即相当于对真值补0。 （4）分析任意负数的补码可发现当对其由低位向高位找到第一个“1”时，在此“1”左边的各位均与对应的反码相同，而在此“1”右边的各位均与对应的原码相同。故负数的补码左移时，空位出现在低位，添补的代码与原码相同，即为0；右移时，空位出现在高位，添补的代码与反码相同，即为1。 例：设机器数字长为8位（含一位符号位），若X=±27，写出X对应的原码、反码和补码的形式，并求出三种机器数左、右移一位后的表示形式及对应的真值。 有符号数的移位称为算术移位，无符号数的移位称为逻辑移位。逻辑移位的规则是：逻辑左移时，高位移出，低位空位补0；逻辑右移时，低位移出，高位空位补0。 3.3.2 补码加减运算与溢出 加减法运算是计算机中最基本的算术运算，一般计算机中都采用补码表示来进行实现。 1、补码加减运算的基本公式 补码加法的基本公式为： [X+Y]补=[X]补+[Y]补 按照补码的定义，此公式可进行严格的数学证明，以小数为例证明如下： 证明：真值X、Y的符号共有四种情况。 （1）X0，Y0，则X+Y0 根据补码定义可得：[X]补+[Y]补=X+Y=[X+Y]补 （Mod 2） （2）X0，Y0 根据补码定义：[X]补=X，[Y]补=2+Y，则[X]补+[Y]补=2+（X+Y） ①当|X|≥|Y|时，0≤X+Y1（正数），模2时，2+（X+Y）=X+Y 所以[X]补+[Y]补=2+（X+Y） =X+Y=[X+Y]补 （Mod 2） ②当|X||Y|时，-1≤X+Y0（负数），[X]补+[Y]补=2+（X+Y）=[X+Y]补 （3）X0，Y0（可仿照（2）证明） （4）X0，Y0，则X+Y0 根据补码定义：[X]补=2+X，[Y]补=2+Y，则 [X]补+[Y]补=2+X+2+Y=2+（2+X+Y） 因为（X+Y）0，而且其绝对值又小于2，则0≤（2+X+Y）2； 在模2情况下，2+（2+X+Y）=2+X+Y =2+（X+Y）=[X+Y]补 所以：[X]补+[Y]补=[X+Y]补 由以上各种情况的证明，可得到结论： [X]补+[Y]补=[X+Y]补 由补码加法的基本公式，可得到补码减法的基本公式： [X-Y]补=[X]补+[-Y]补 即：[X-Y]补=[X+（-Y）]补= [X]补+[-Y]补。 根据以上加减运算的基本公式，可得到补码运算的规则如下： ①、参加运算的操作数均用补码表示。 ②、符号位参与运算。 ③、对于两数相加减的各种情况，计算机都执行求和操作。 ④、运算结果仍为补码表示。 在补码机器中，对于参与运算的X和Y两个数，都以补码形式表示在机器中，即机器内存放的是[X]补和[Y]补的形式，所以对于加法运算来说，比较简单，而对于减法运算，需要考虑怎样从[Y]补变换到[-Y]补的形式，然后参加运算。 不论Y的真值是正是负，已知[Y]补求[-Y]补的方法都是将[Y]补的符号位连同数值位一起求反后末位加1，这是因为Y和-Y肯定为一正一负，且绝对值相同。 例：已知：x=0.1001，y=-0.0110，求x+y=? 例：已知：x=-0.1001，y=-0.0101，求x+y=? 例：已知：x=0.1001，y=0.0110，求