第3讲 频率域稳定判据.ppt

[例7]某Ⅱ型系统的开环频率特性 如下图所示，且s右半平面无极点，试用奈氏判据判断闭环系统稳定性。 [解]：首先画出完整的奈氏曲线的映射曲线。如右图： 解法一，从图上可以看出：映射曲线顺时针包围(-1, j0)两圈，R=-2。因P=0，所以Z=P-R=2 ，闭环系统是不稳定的。 解法二，只看其中的0—+∞的一半图形 （红线），负穿越一次, N-=1, 故Z=P-2N=P-2(-N-)=2，闭环系统是不稳定的。 3、对数频率稳定判据 开环系统的极坐标图（奈氏图）和对数坐标图（波德图）有如下的对应关系： 1、 奈氏图上单位圆对应于对数坐标图上的零分贝线； 。 2、 奈氏图上的负实轴对应于对数坐标图上的-180度相位线。 极坐标图 伯德图 单位圆 0db线（幅频特性图） 单位圆以内区域 0db线以下区域 单位圆以外区域 0db线以上区域 负实轴 -1800线（相频特性图） 因此，奈氏曲线自上而下-角度减小（或自下而上-角度增大）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当于在伯德图中当L(ω)0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。 参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈氏判据可表 述如下： 闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变到 时， 在开环对数幅频特性 的频段内，相频特性 穿越的次数（正穿越 与负穿越 次数之差）为 。 P为开环传递函数在s右半平面的极点数。 若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即 ， 则闭环系统稳定的充要条件是：在 的频段内， 相频特性 在 线上正负穿越次数代数和为零。 或不穿越 线 。 例：某系统有两个开环极点在S右半平面（P=2） N+- N-=1-2= -1 不等于P/2（=1） 所以，系统不稳定。 小结 柯西幅角定理。满足该定理的条件。R=P-Z 辅助方程。其极点为开环极点，其零点为闭环极点。 奈奎斯特稳定判据。开环系统的奈氏路径极其映射；对数坐标图上奈氏判据的描述。 作 业 5-13 5-12(3、6、8、10) 5-3 频域稳定判据 奈魁斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。 一、奈氏判据的数学基础 如图，n阶系统的开环传递函数为： 闭环传递函数为： 令： 则开环传递函数为： …………… (a) 闭环传递函数为： …………… (b) 显然，辅助方程的阶数为n阶，且分子分母同阶。还可以写成： 由上页(a)、(b)及(c)式可以看出： F(s)的极点为开环传递函数的极点； F(s)的零点为闭环传递函数的极点； 因此，如果F(s)的零点都位于S平面的左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。 构造闭环特征方程为辅助方程： ……..(c) 。式中， 为F(s)的零、极点。 假设复变函数F(s)为单值函数，且除了S平面上有限的奇点外，处处都为连续的正则函数，也就是说F(s)在S平面上除奇点外处处解析，那么，对于S平面上的每个解析点，在F(s)平面上必有一点（称为映射点）与之对应。 [例]辅助方程为： ，则s平面上 点（-1，j1），映射 到F(s)平面上的点 为（0，-j1）,见下图： S平面与F(s)平面的映射关系 对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 ，可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 （称为 的映射）。 同样我们还可以发现以下事实：s平面上 曲线 映射到F(s)平面的曲线为 ，如下图： 示意图 曲线 是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0），不包围其零点（-2）；曲线 包围原点，且逆时针运动。 再进一步试探，发现：若 顺