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第4章　导热问题的数值解法 §4-1　导热问题数值求解基本思想 §4-2　内节点离散方程的建立 §4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解 §4-4 非稳态导热问题的数值解法 (2) 外部角点 如图所示，二维墙角计算区域中，该节点外角点仅代表 1/4 个以 为边长的元体。假设边界上有向该元体传递的热流密度为 ，则据能量守恒定律得其热平衡式为： (3) 内部角点 内部角点代表了 3/4 个元体，在同样的假设条件下 x y qw 讨论关于边界热流密度的三种情况： （1）绝热边界 即令上式 即可。 （2） 值不为零 （3）对流边界 此时 ，将此表达式代入上述方程，并将此项中 与等号前的 合并。对于 的情形有： 流入元体， 取正，流出元体， 取负 （a）平直边界 （b）外部角点 （c）内部角点 4.3.2 处理不规则区域的阶梯型逼进法 当计算区域出现曲线边界或倾斜边界时，常常采用阶梯形的折线来模拟真实边界，然后用上述方法建立边界节点的离散方程。 4.3.3 代数方程的求解方法 2）迭代法：先对要计算的场作出假设（设定初场），在迭代计算中不断予以改进，直到计算前的假定值与计算结果相差小于允许值为止的方法，称迭代计算收敛。 1）直接解法：通过有限次运算获得精确解的方法，如：矩阵求解，高斯消元法。 * * 1 、重点内容： ① 掌握导热问题数值解法的基本思路； ② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。 2 、掌握内容：数值解法的实质。 求解导热问题的三种基本方法： (1)实验法; (2)理论分析法；(3)数值计算法 三种方法的特点 实验法: 是传热学的基本研究方法。 a 适应性不好； b 费用昂贵 分析法: a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；b 局限性很大，对复杂的问题无法求解；c 分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见 数值计算法 有效解决复杂问题的方法；是具有一定精度的近似方法。在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。 数值解法： 有限差分法（finite-difference） 有限元法（finite-lement） 边界元法（boundary-element） 分子动力学模拟（MD） 分析解法与数值解法的异同点： ?? 相同点：根本目的是相同的，即确定： ① t=f(x,y,z) ； ②热流量。 ?? 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。 ???? 对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值，该方法称为数值解法。 ???? 这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。 4-1 导热问题数值求解的基本思想 4.1.1 基本思想 建立控制方程及定解条件 确定节点（区域离散化） 建立节点物理量的代数方程 设立温度场的迭代初值 求解代数方程 是否收敛 解的分析 改进初场 是 否 4.1.2 物理问题的数值求解基本步骤 以二维矩形域内稳态、无内热源、常物性的导热问题为例 2 例题条件 （a） （1）建立控制方程及定解条件 控制方程（即导热微分方程） 二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤： （2）区域离散化（确立节点） 用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点 ( 结点 ) ，节点的位置用该节点在两个方向上的标号 m ， n 表示。 相邻两节点间的距离称步长。 x y n m (m,n) M N （b） x y n m (m,n) M N 基本概念：网格线、节点、界面线、步长、控制容积 二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题 （3）建立节点物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。?? 首先划分各节点的类型； ?? 其次，建立节点离散方程； ?? 最后，代数方程组的形成。 对节点 (m,n) 的代数方程，当 △x=△y 时，有： （4） 设立迭代初场 ???? 代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一