第4章根轨迹1.ppt

第四章? 根轨迹法 内 容 提 要 知 识 要 点 §4.1 根轨迹的基本概念 4.1.1? 什么是根轨迹 §4.2 绘制根轨迹的基本原则 4.2.1 开环零极点与相角条件 4.2.2 基本规则 绘图示例 对上式求导可得： （2） （3） 由于 式（3）变为： （4） 从上式中解出s,即为分离点d。 当l条根轨迹分支进入并立即离开分离点时，分离角可由下式决定： 分离角定义为：根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。 规则5：两条或两条以上根轨迹分支在[s]平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。分离点坐标d是下列方程的解： 分离角为 必须说明的是，方程只是必要条件而非充分条件，也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点还要看其它规则。 规则6 ：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹从某个开环极点出发时的切线与实轴的夹角称为出射角，根轨迹进入某个开环零点的切线与实轴的夹角称为入射角，用相角条件不难证明，根轨迹从开环极点pi出发 根轨迹进入某个开环零点Zl的入射角为： 根轨迹与虚轴的交点是临界稳定点，该点的坐标jω0和增益K0是很重要的，将s=jω代入闭环特征方程，令特征方程的实部和虚部分别等于零，可以解出ω0和K0 。用劳斯（Roth）判据也可以求得K0 。 规则7 ：根轨迹与虚轴的交点 方法1：解析法 系统闭环特征方程式为： 令 代入上式，可得： 令： 联立求解，即可求得交点处的 值和 值。 方法2：Routh 判据法 首先根据闭环特征方程式的各项系数列写出Routh表，然后令Routh表第一列中包含 的元素项为零，即可解得根轨迹与虚轴的交点处的　　值 　 此外因为一对纯虚根是数值相等、符号相反的根，所以利用Routh表中 行的元素为系数构成辅助方程，必可解出纯虚根的值，这就是根轨迹与虚轴交点处的 值。若根轨迹与虚轴有二个以上的交点，则可用Routh表中幂大于2的s偶次方行的系数构造辅助方程，解出各交点处的 值。 规则8： 闭环极点的和与积 系统的闭环特征方程在nm的一般情况下，可以有不同形式的表示 在开环极点确定的情况下，这是一个不变的常数。所以，随着 的增大(或减小)，若一些闭环特征根在[s]平面上向左移动，则另一些闭环特征根必向右移动，且在任一 下，闭环特征根之和保持常数不变。此规则可用于判断根轨迹的走向。 闭环特征根之积与开环零、极点有如下关系： 对应于某一 值，若已知某些闭环特征根，利用上述结论有助于求出其它闭环特征根。利用上述结论，也可估计当 变化时，根轨迹的走向。 4.3 绘制根轨迹举例 有了以上绘制根轨迹的基本法则，在已知系统的开环零、极点(开环传递函数)的情况下，利用这些基本法则，就可以迅速准确地确定出根轨迹的主要特征和大致图形。如果需要，再利用根轨迹方程的相角条件。利用试探法确定若干点，就可以绘制出准确的根轨迹。 绘制根轨迹的一般步骤为： 根据给定的开环传递函数，求出开环零、极点，并将它们标在复平面上； 确定根轨迹的分支数及趋于无穷远处根轨迹的条数； 确定实轴上的根轨迹； 确定根轨迹的渐近线； 确定根轨迹的分离点； 计算根轨迹的出射角和入射角； 确定根轨迹与虚轴的交点； 大体绘出根轨迹的概略形状； 利用对称性画出上、下复平面的根轨迹； 利用闭环特征根之和、之积的性质估计根轨迹的走向； 利用相角条件试探确定根轨迹上某些点； 某些系统在复平面上的根轨迹为圆或圆的一部分时，求出圆心和半径。 必要时，对根轨迹进行修正，以画出系统精确根轨迹。 根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤其是手工绘图，根据规则1~4就能很快地画出大致形状，再按规则7求出临界增益K0，这样的根轨迹图就很有用了，我们称这样的根轨迹图为概略图，一般手工画根轨迹的习题（考题）就是指这种概略图。 除非系统阶次很低，否则手工解方程求分离点决非易事；手工求出射角和入射角也不太好操作，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。 按7个基本规则绘制根轨迹图 解：首先，系统有三个无穷远零点，有三个开环极点：p1=0,p2=-1,p3=-2，将它们标在复平面上（见图4-5），开环极点的位置用×表示（开环零点的位置一般用○表示）。根据规则1和2，根轨迹将有3支，分别开始于这三个开环极点，趋向无穷远。 图4-1 反馈控制系统 例2：试绘制图4-1所示负反馈控制系统的K变化时闭环根轨迹略图，设其开环传递函数为：