第4章自动控制原理课件胡寿松.ppt

第4章 根轨迹分析法 闭环系统的稳定性及性能主要由闭环极点（特征方程根）决定的。一个较完善的闭环控制系统其特征方程一般为高阶，直接用时域法求解困难。 4．1 根轨迹的基本概念 开环有两个极点： p1= 0， p2=－2 开环没有零点。 可根据根轨迹形状评价系统的动态性能和稳态性能： （1）根轨迹增益Kg从0→∞时，根轨迹均在s平面左半部，在所有的Kg值下系统都是稳定的。 （2）当0Kg 1时，闭环特征根为实根，系统呈过阻尼状态，其阶跃响应为非周期过程。 （3）当Kg=1时，闭环特征根为相同负实根，系统处于临界阻尼状态，其阶跃响应为非周期过程。 （4）当Kg1时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态,其阶跃响应为衰减的振荡过程。 （5）有一个为0的开环极点，系统为Ⅰ型系统，其阶跃作用下的稳态误差ess为零。 二、根轨迹方程 绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在s平面寻找闭环特征根的位置。 1、根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程 2、幅值条件和相角条件应用 （2）. 用幅值条件确定kg的值 4．2 绘制根轨迹的基本规则 4．3 控制系统根轨迹的绘制 4．4 控制系统的根轨迹分析 系统的阶跃响应与闭环零、极点的分布密切相关。 根据根轨迹→求已知参数（一般为σ%、 tS）下的主导闭环极点→分析系统性能。 分析可包括： 1. 由给定参数确定闭环零、极点； 2. 分析参数变化对系统稳定性的影响； 3. 计算系统的瞬态性能和稳态性能指标； 4. 根据性能要求确定系统的参数。 一、求取闭环系统极点的方法： 例：已知系统开环传递函数 ，求具有阻尼比ξ=0.5的共轭闭环主导极点和其它闭环极点，并估算此时系统的性能指标。 解： ① 绘制根轨迹 ② 分离点： ③ 与虚轴的交点： 稳定范围 ④ 作图求ξ=0.5时三个闭环极点 非主导极点与主导极点实部之比 ⑤ 性能分析 模之比 ∴-s1、 -s2 在系统的瞬态响应过程中起着主导性作用，是闭环主导极点。 可根据由-s1、 -s2 所构成的二阶系统来估算三阶系统。 单位斜坡给定作用下稳态误差： Ⅰ型系统： 二、闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系： 1.系统要稳定：闭环极点全部位于s左半平面，与闭环零点无关； 2.快速性好：闭环极点均远离虚轴，以使每个分量衰减更快； 3.平稳性好：主导共轭复数极点位于β=±45°等阻尼线上，其对应最佳阻尼系数为ξ=0.707 ； 4.若非主导极点与主导极点实部比5，且主导极点附近又无闭环零点，则非主导极点可忽略。一般可近似将高阶系统看成由共轭复数主导极点构成的二阶系统或由实数主导极点组成的一阶系统。 5.闭环零点可以抵消或削弱附近闭环极点的作用，当某个零点-zi与某个极点-pj非常接近，成为一对偶极子。 可在系统中人为引入适当的零点，以抵消对动态过程中有明显坏影响的极点，从而提高性能指标。 三、增加开环零、极点对根轨迹和系统性能的影响 1.已知系统开环传递函数 ，增加 -p=-2或 -z=-2，讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。 增加零点后，根轨迹及其分离点向左偏移 增加极点后，根轨迹及其分离点向右偏移 ①增加极点后，Kg从0→∞，两条根轨迹离开实轴，并进入s右半平面，系统不稳定。 当根轨迹仍在s左半平面时，Kg↑，β↑， ξ↓，振荡程度↑，│ζωn│↓，衰减因子↓，快速性↓，动态性能↓。 ②增加零点后，根轨迹始终在s左半平面，最后变为两个负实根，稳定性↑， β↓， ξ ↑，σ% ↓， tS ↓，动态性能↑ 。 ∴常在工程中采用增加零点的方法对系统进行校正。 例2.已知系统开环传递函数，讨论增加开环零点对系统稳定性的影响。 a.原系统：3个开环极点，无开环零点，结构不稳定 b. ， 稳定，由于闭环极点是共轭复数，阶跃响应呈衰减振荡 c. ，不稳定 ∴引入开环零点数值要适当，才能比较显著地改善性能。 结论： 增加开环零点对根轨迹的影响： ① 改变了根轨迹在实轴上的分布； ② 改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距； ③ 可构成开环偶极子，改善系统性能； ④ 根轨迹曲线向左偏移，意味着闭环极点向左偏移虚轴，稳定裕度好，快速性好，所加开环零点越靠近虚轴影响越大。 增加开环极点对根轨迹的影响： ① 改变了根轨迹在实轴上的分布； ② 改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距； ③ 改变了根轨迹的分支数； ④ 根轨迹曲线向右偏移，动态性能下降，所加开环极点