第5章Z变换.ppt

信号线性变换小结 （二）、部分分式展开法 因为常用的Z变换对为 所以在对X(z)做部分分式展开时，力求得到形如 的形式 步骤： 1. 将X(z)除以z，得到 2. 将 展成部分分式，方法同拉氏变换 3. 将展开的部分分式乘以z，即得到X(z)的表达式 4. 对各部分分式进行Z反变换 5. 写出原序列x(n) （二）、部分分式展开法 一、当X(z)只含单极点 式中zi是单极点，Ai是待定系数（极点zi的留数） （二）、部分分式展开法 于是可得X(z)的反变换为 （二）、部分分式展开法 二、当X(z)含有一r重极点 式中Ai的确定同单极点系数的确定相同 Bj的确定与拉氏变换类似： （二）、部分分式展开法 查表求Z反变换 （二）、部分分式展开法 例3 已知 收敛域为 试求Z的反变换 解： （二）、部分分式展开法 所以其反变换为 （二）、部分分式展开法 （三）、留数法（围线积分法） 留数的定义 设z0 为函数 f(z) 的孤立奇点，那么积分 为与C无关的定值，以2 i 除这个积分值，所得的数叫做在z0的留数。 记作 罗伦级数定理 其中 C为圆环域内绕z0的任何一条正向简单闭曲线。 （三）、留数法（围线积分法） （三）、留数法（围线积分法） 围线积分法的推导（利用柯西积分定理） 已知 Re[z] jIm[z} 将上式两端同时乘以zk-1，并沿围线C积分得： 根据柯西积分定理 所以 R X(z)的反变换的围线积分表示式如下： 其中c是包围 所有极点的闭合积分路线 则 （三）、留数法（围线积分法） 1、当z=zi 是一阶极点时 2、当z=zi 是r阶极点时 （三）、留数法（围线积分法） 例：求 的Z反变换 解： 当n=1时，有极点 当n=0时，有极点 （三）、留数法（围线积分法） （三）、留数法（围线积分法） （三）、留数法（围线积分法） 留数辅助定理 如果围线积分的被积函数F(Z)在整个Z平面上除有限个极点外都是解析的，且当Z??时,F(Z)以不低于二阶无穷小的速度?0,则当围线C的半径趋于无穷大时， 则有 求X(Z)的反变换x(n) 留数法： 收敛域是圆外区域，所以x(n)是右边序列 1、当n=0时， 在c内有两个极点 2、当n0时， 在c内有三个极点 （n重极点） 而c外无极点。根据留数辅助定理 因此： 5.3 Z变换的性质 这些性质表示离散序列在时域和Z域间的关系 （一）线性性质 则 若 其中a,b为任意常数， （二）位移性质 双边Z变换： x(n)是双边序列 若 则 证明：根据双边Z变换的定义 令 k=n+m,则上式变为 同理： （二）位移性质 （二）位移性质 1、若x(n)是因果序列，其单边Z变换为： 单边Z变换的位移性质 则右移后 左移后 单边Z变换的位移性质 2、若x(n)是双边序列，其单边Z变换为： 左移 右移 （二）位移性质 例 4 求周期序列 x(n)的Z变换 解：若周期序列x(n) 的周期为N，即 令x1(n)表示x(n）的第一个周期，因为x1(n)是有限长序列，所以其Z变换为 （二）位移性质 x(n)的Z变换为 周期序列x(n)用x1(n)表示，为 （二）位移性质 例：已知单边Z变换 若an是双边序列 求 an-1u(n), an-1u(n-1) 的单边Z变换。 解：设 则 1、由单边Z变换公式 （二）位移性质 2、anu(n)是单边序列，所以an-1u(n-1)的Z变换为 即 （二）位移性质 * 第五章 Z变换 基本要求 1、深刻理解Z变换的定义，收敛域和基本 性质 2、会根据Z变换的定义和性质求一些常用 序列的Z变换 3、深刻理解Z变换与拉普拉斯变换的关系 4、正确理解Z变换的性质的应用条件 5、能用幂级数展开法、部分分式法及留数 法求Z反变换 5.1 Z变换及其收敛域 第五章 Z变换 5.2 Z反变换 5.1 Z变换及其收敛域 一、由抽样信号的拉氏变换引出Z变换 设xs(t)是连续信号x(t)的理想抽样信号，则 其中T为抽样时间 对上式两边取拉氏变换，得到： 令 二、Z变换的定义 序列x(n)的单边Z变换为： 式中Z为复变量 对一切n值都有定义的序列x(n)，也可以定义双边Z变换 如果x(n)是因果序列，则其双边Z变换与单边Z变换是等同的 在实际的离散系统中所遇到的序列一般是因果性的，所以我们着重讨论单边Z变换 三、Z变换的收敛域 1、定义 对任意给定的有界序列x(n)，使其Z变换式收敛的所有Z值的集合，称为Z变换X(Z)的收敛域 2、级数收敛的充分必要条件为 例1、求单边序列 的Z变换， 其中a为正实数。 解：按单