第6讲矢量场的通量及散度.ppt

作业 P65 习题3：1，2，3，6, 10 Homework 5 第二章 场论 第6讲 矢量场的通量及散度 主要内容 1. 通量 2. 散度 3.平面矢量场的通量与散度* 教材：第2章 第3节 简单曲线与简单曲面术语介绍 （1）简单曲线： 设连续曲线参数方程为： 曲线上的每一点都只对应唯一的一个参数值t.(闭合曲线闭合点除外)。简单曲线的一般特征是一条没有重点的连续曲线。 （2）简单曲面： 设连续曲面参数方程为： 曲面上的每一点都只对应唯一的一个参数值（u, v）.(闭合曲面闭合点除外)。简单曲面的一般特征是一条没有重点的连续曲面。 1.通量 引例： 设有流速场v(M),流体是不可压缩的，设其密度为1.求单位时间内流体向正侧穿过有向曲面S的流量Q（如图）。 取微元ds(微元内速度矢量和法矢量近似看做不变)，则穿过ds的流量dQ近似等于： 以 表示点M处的单位法矢量则流量表示为： 令 为在点M处的这样一个矢量，其方向与法向量n一致，其模等于面积ds。 据此，在单位时间内向正侧穿过S的流量，就可用曲面积分表示为： 又如：在电位移矢量D分布的电场中，穿过曲面S的电通量： 在磁感应强度矢量B分布的电场中，穿过曲面S的磁通量： 通量定义： 设有矢量场A(M),沿其中有向曲面S某一侧的曲面积分： 叫做矢量A(M)向积分所沿一侧穿过曲面S的通量。 若： 则有： 通量是可叠加的。 在直角坐标系中，设 则通量可写成： 又： 例1： 设由矢径 构成的矢量场中，有一由圆锥面 及平面 所围成的封闭曲面S,如图，试求矢量场 从S内穿出S的通量Φ。 解： 以 表示曲面S的平面部分，以 表示锥面部分，则通量为： 其中 其中 为 在xOy面上的投影。 在 上有 则： 所以： 例2： 设S为曲面 被围在圆柱面 内的部分，求矢量场 向下穿出S的通量 。 解： S为函数 当u取值为0时的一张等值面。由于矢量场向下穿出S的方向，是z减小的方向同时也是u值减小的方向，故S朝此方向的单位法矢量为： 所求通量为： 通量为正负时的物理意义： 对于流速场v(M),设在单位时间内流体向正侧穿过S的流量为Q，根据前面所述，单位时间内流体向正侧穿过曲面元素dS的流量为： 其结果是个代数值：若v从曲面的负侧传到曲面的正侧时，v与n夹角为锐角因此dQ为正流量，如下图左所示；反之，v与n夹角为钝角dQ为负流量，如下图右所示： 因此，对于总流量 一般应理解为：单位时间内流体向正侧穿过曲面S的正流量与负流量的代数和。 如果S为一封闭曲面，此时积分 一般指沿S的外侧，此时流量表示从内穿出S的正流量与从外穿入S的负流量的代数和。 若Q0,那S内必有正源；同理Q0,S内必有负源。但是当Q=0时，不能断言S内无源。 例3： 在点电荷q所产生的电场中。任何一点M处的电位移矢量为 其中r是点电荷q到点M的距离， 是从点电荷q指向点M的单位矢量。设S为以点电荷为球心，R为半径的球面，求从内穿出S的电通量 。 解： 如图，在球面S上恒有r=R ,且法矢量n与 的方向一致，所以 2.散度 散度定义： 设有矢量场A(M)，于场中一点M的某个领域内作一包含M点在内的任一闭曲面△S，设其所包围的空间区域为△Ω，以△V表示其体积，以△Φ表示从其内穿出S的通量，若当△Ω以任意方式缩向点M时，比式： 的极限存在，此极限为矢量场A(M)在点M处的散度。 记作div A, 散度div A为一数量，表示在场中一点处通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出的通量，称为该点处源的强度。 div A的符号为正表示该点处有散发通量的正源，反之则有吸收通量的负源。其绝对值| div A |表示该点处散发或吸收通量的强度。 当div A的值为零时，表示该点处无源，由此称div A≡0的矢量场为无源场。 把矢量场A中每一点的散度与场中的点一一对应起来就得到一个数量场，称之为由此矢量场产生的散度场。 散度在直角坐标系中的表达式： 定理：在直角坐标系中，矢量场 在任一点的散度为： 证明： 由高斯公式得： 再按中值定理有 M*为△Ω内的某一点，由此： 当△Ω缩向点M时， M*就趋于M, 所以 推论1： 高斯公式可写成如下的矢量形式： 推论2： 穿出封闭曲