浅谈“循环矩阵”的性质及应用论文.doc

浅谈“循环矩阵”的性质及应用毕业论文 目录摘要 I Abstract II 1 前言 1 2. 循环矩阵的基本概念及性质 3 2.1 基本概念 3 2.2 循环矩阵的性质 3 2.3循环矩阵的对角化 7 3循环矩阵的推广 10 3.1 广义循环矩阵 10 3.2 循环矩阵 14 3.3 反循环矩阵 17 小结 21 参考文献 22 致谢 23  1 前言 循环矩阵的概念是于1885年首先提出来的, 自提出以来, 直到1950-1955年, Good等人才开始分别对循环矩阵的逆, 行列式及其特征值进行了相应地研究[1-2]. 目前有关循环矩阵的问题依然是大家喜欢和热爱研究的一个热点. 自1950年以来, 循环矩阵被数学界高度重视, 发展迅速, 各种新的循环矩阵概念也被相继提出, 已有十几种: 如向后循环矩阵, 循环布尔矩阵, -(块)循环矩阵, 循环矩阵, 向后(对称)循环矩阵, 块循环矩阵等等[5-7]. 许多数学工作者对它进行了大量研究, 得出很多成果. 在线性代数中, 循环矩阵是一种特殊形式的矩阵, 它的行向量的每个元素都是前一个行向量各元素依次右移一个位置得到的结果. 由于可以用离散傅立叶变换快速解循环矩阵, 所以在数值分析中有重要的应用. 近年来, 循环矩阵类已不断指引着应用数学和矩阵理论领域中的一个非常积极的和重要的研究和学习方向. 而它之所以会吸引数学学者和工作者如此大的兴趣和孜孜不倦的追求, 是因为循环矩阵是一类具有特殊结构, 并且有良好性质的矩阵, 而且也是非常重要的矩阵. 同时它也是应用非常广泛的一类矩阵, 比如在编码理论、理论物理、分子的轨道理论、数理统计与概率、图象数学处理、固态物理、计算结构等很多的方面应用都比较广泛. 同时循环矩阵的逆和特征值问题, 在物理方面的力学振动系统设计, 分子结构理论, 线性多变量控制理论及数值分析等领域中也频繁闪现. 对循环矩阵的研究是矩阵理论的重要组成部分且日益成为应用数学领域中一个非常活跃和重要的研究方向基于这类矩阵有许多良好的性质和结构很有必要对其进行推广并探讨其特殊结构、特殊性质、各种多项式表示形式极小多项式、非奇异性、特征多项式、对角化、谱分解、特征值、逆阵、自反逆、 群逆及逆的各种快速算法等目前由于循环矩阵的理论还不是很完善而在实际生活中许多的数学模型是有关循环矩阵的数学工作者对循环矩阵的研究仍在继续着其中循环矩阵的逆矩阵求法是多国数学工作者研究的一个热点[1-8]进行深入讨论和研究的基础之上分析总结, 对于矩阵系统中一类非常重要的矩阵--循环矩阵, 又一次从最基本的定义出发详细地综合了以往对循环矩阵的相关研究及结论, 并在其基础上对于以往的结论进行重新证明, 同时继续研究循环矩阵的各种性质. 并且利用矩阵对角化的方法来研究和学习循环矩阵的伴随矩阵, 逆矩阵, 以及行列式的表达方式; 利用范德蒙矩阵对循环矩阵的一个定理给出了推广, 并得到二重循环矩阵(广义循环矩阵）循环矩阵的相应性质, 随之对循环矩阵的应用性质和进行进一步的讨论. 2. 循环矩阵的基本概念及性质 2.1 基本概念 定义2.1 复数域上形如 (2.1) 的矩阵, 称为阶的循环矩阵. 定义2.2 设数域上矩阵 , 由于 ,,, , 其中是单位矩阵, 称矩阵为基本循环矩阵. 2.2 循环矩阵的性质 性质2.1 令, 则矩阵都是循环矩阵且是线性无关的. 证明 从上可知显然是循环矩阵. 下面只要证它们是线性无关的即可. 设, 则 因此, 所以是线性无关的. 性质2.2 任意的阶循环矩阵(如(2.1)式) 都可以由线性表出, 即 . 从上可知如果令, 则. 称为阶循环矩阵的生成多项式. 性质2.3 设数上阶环阵, 数, 也都是阶环阵. 质3环阵对阵 数乘阵阵转运封闭. 这里就不加证明了. 性质2. 设数上阶环阵, 们积数上的阶环阵,, 即循环阵环阵.,全为阶循环矩阵, 不妨设, 其中 , . 则 , 其中. 由于, 所以 , 其中 , . 所以乘积也是数上的阶环阵,, 即循环阵环阵.质2.4阶循环阵阵, 质2.5是阶环阵, 是可逆, 那么也是循环矩阵. 证明 设 其中(为待定系数)使得, 即可证明循环矩阵为可逆的循环矩阵. 设 则 由于, 则有下列方程组成立 （2.2） 它的系数矩阵为(表示的转置矩阵). 由于可逆, 其中, 由克莱姆法则知, 方程组中有且仅有唯一的解, 即唯一存在, 从而这样的就是的逆矩阵, 且也是循环逆矩阵. 推论2.6 设是阶可逆的循环矩阵, 则的伴随矩阵也是循环