第一章 复变函数和解析函数.ppt

第一章 复变函数和解析函数 第一章 复变函数和解析函数 简介 §1.1复数的基本概念 1 复数及其代数运算 2 无穷远点 1 复数及其代数运算 复数z=x+iy 实部Rez=x 虚部Imz=y 虚数单位 （或 ） 1.1代数式 z的共轭复数z*或 1.2复平面与复矢量 复平面——横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面 一个复数复平面上的一个点→复矢量 无穷远点 §1.2复变函数及其导数 Cauchy-Riemann条件(P3) 1 复变函数及其导数 2 Cauchy-Riemann条件 1 复变函数及其导数 复习 1.C-R条件，复变函数f(z)可导的充要条件？ 2.实变二元函数v(x,y)全微分？ 3.实变函数积分与路径无关的条件？ 4.多元函数偏导数的定义？ 2 Cauchy-Riemann条件 §1.3 解析函数(P7) 1 解析的概念 2 解析函数的充要条件 1 解析的概念 在z0点解析：在z0点及其邻域内可导.在z0点解析， 则在z0 点必可导，反之则不然. 区域B上的解析函数：在B内所有点解析或可导.在 区域B上解析 可导 通常我们说某解析函数严格说应是在某个区域上的解析函数 2 解析函数的充要条件 2.1定理：对于区域B上的连续函数，解析的充要条件是C-R条件满足. 显然解析函数的实部和虚部间由C-R条件将其紧密地联系在一起. 思考与讨论题: 复数辐角的主值是如何选取的？辐角主值的规定是否唯一？为什么？z=0和z=∞的辐角有无意义？ 复变初等函数与实变初等函数的基本性质有哪些区别？ 若z1与z2为复数域中的两个数是否能比较大小？ f(z)在z0点解析与在z0点可导有无区别？在区域内解析与在区域内可导有无区别？ 解析函数必满足C-R条件，为什么？ 已知解析函数的实部（或虚部）求该解析函数的方法有哪些？各自要注意的要点是什么？ 作业：p18,19：1.1 (1)、(4)、(6)，1.2，1.4 (1)、(3)、（4），1.5，1.7 (1)、(3)，1.8 (1)、(3) §1.4 多值函数(P9) 复数中的幅角不唯一，使得在复平面上同一点有不同的幅角?多值函数值的不同?导数无从谈起，为此，扩大自变量（宗量）的定义域，使多值函数在更大区域上单值化. 1 多值函数及其支点 2 黎曼面 1 多值函数及其支点 支点及其阶数：若z绕某点?一周，w=f(z)不复原，则称该点?为多值函数的支点。 若当z绕支点n周时，函数才复原，则称该点为(n-1)阶支点. 2 黎曼面 对在0???4?内w值与（?，?）的取值是一一对应的，为了形象地表明?的变化范围是[0，2?]还是[2?，4?]?设想复平面由两叶复平面组成，该两叶的0、?点彼此重合，每一叶都沿正实轴在两支点之间剪开，连接成如右图所示的黎曼面. 每一叶，对应多值函数的一个单值分支，黎曼面上每一点对应一个w值，原复平面上的多值函数?黎曼面上的单值函数. 连接两支点的割线可以是任意曲线. §1.5解析函数的几何性质  保角变换(P12) §1.6 解析函数的物理解释 复势(P15) 1 Laplace方程与调和函数 2 平面静电场的复势 1 Laplace方程与调和函数 此方程的解称为调和函数. 无源静电场的电势就是一个调和函数.若无源静电场是二维静电场，即?=?(x,y),则?为二维调和函数. 思考与讨论题 复变函数的多值性是由于宗量辐角的不唯一性决定的，在黎曼面上除支点外每一点都有确定的辐角，故多值函数在黎曼面上是点的单值函数（支点除外）.你认为呢？ 解析函数的实部和虚部都是调和函数，反之实部和虚部都是调和函数的复变函数一定是解析函数吗？为什么？ 作业：p19： 1.9 (1)，1.10， 0 2?+?0 ?0 z x 例如： , ( ） y 则 z绕原点一周： z绕原点二周： 故z=0是 的一阶支点，类似可讨论，∞也是 的一阶支点(绕∞的正向与绕有限远点的逆向相同). z=0、∞是 的二阶支点，是 的 (n-1)阶支点. ?=2? ?=4? ?=2? x y l3 l1 l2 -1 0 [例]讨论函数 的多值性. 沿 绕行一周 沿 绕行二周 +1是一阶支点，类似可讨论-1是一阶支点. 解: 沿 绕行一周 ，原点不是支点. 绕行一周 即两个一阶支点是?1，沿任意曲线在两支点之间 将复平面剪开，再交叉粘合作成黎曼面，P11画出 了两种具体的割线作法. 沿 ，?不是支点. 讨论： (1)代数支点：阶数有限的支点； 超越支点：无论绕支点多少圈，w值总不回到开始的值；