第二章解析函数课件.ppt

第二章 解析函数 (Analytic functions);一、学习要求 1. 理解复函的导数的概念、解析函数的概念。 2. 掌握复变函数解析的充要条件，并能应用函数解析的充要条件判别函数的解析性和可导性。 3. 了解解析函数与调和函数的关系；掌握从已知调和函数求出解析函数的方法。 4. 了解指数函数、对数函数、三角函数、幂函数的定义和性质. ;二、考核知识点 1. 复变函数的导数的定义、导函数。2. 复变函数可导与连续的关系，求导法则。3. 解析函数的定义。4. 奇点。5. 解析函数的运算。6. 哥西—黎曼方程。7. 函数解析的充要条件。8. 判别函数解析的方法。9. 调和函数、共轭调和函数。10. 解析函数与调和函数间的关系。11. 指数函数、对数函数、三角函数、幂函数和根式函数的定义和性质。 ;; 可见，实变函数、复变函数导数的定义形式一样，但 对于实变函数来说Δz 只能沿实轴逼近零(有两种趋近方式)。 如对两种趋近方式来说，其极限存在且相同，则f (x) 在x点 可导；而对于复变函数来说Δz可沿复平面的任一曲线逼近 零，若沿任何方式逼近z时，极限存在且相同 ，则称f (z) 在 点z可导。因此复变函数的可导要求严格得多。;例1. f(z)=zn在复平面上每点均可微, 且;例2. ;可微必连续，连续不一定可微。;设 存在，则;在z点的微分，记作 ;*;2.导数的辐角arg f (z0)表示曲线L上点z0的切线与曲线 L;f (z)在点z可导的必要条件是 存在，且;那么我们可讨论Δz沿平行x轴和平行y轴趋于0的俩种情形。 设：Δz = Δx + i Δy，则函数的改变量为;2.令Δx=0，Δz = i Δy，即Δz沿平行于y轴的方向趋于0， 则有;若f (z)在点(x, y)可导，则(1)、(2)两式相等，于是;定理: 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D上一点(x,y)可微的必要 条件是:u(x,y),v(x,y)的偏导数;事实上,; 必要性:设f(z)在D内z点可微, 则;充分性: 当定理条件满足时,u(x,y),v(x,y)有全微分,所以;*;*;*;§2.1.3. 解析函数的定义;§2 解析函数与调和函数的关系;解析函数实部与虚部之间的这种依赖关系还可以用图示表示，实部与虚部等于常数的两曲线簇正交（图中实线为实部）：; 例4. 验证u=x3-3xy2是平面上的调和函数,并求以它为实 部的解析函数.;所以,; 定理: 任意一个在区域D上解析的函数,其实部与虚部 在该区域上为共轭调和函数.;§2.2.2. 共轭调和函数的几何意义;由C-R条件,得到两法矢量的数量积为;例5. 在复平面上的解析函数 f(z)=αz+β (其中α= a+ ib≠0, β=c+id);§2.3.1 初等单值函数;有理函数;1.定义 对任何复数z=x+iy,用关系式;; 这个性质是实变指数函数所没有的。;注意 ;推广到复变数情形;正弦与余弦函数的性质;要婪津帚泻碧犁簿接田肛灌剑孽团灭议船罕众话楼毋纂磺谗涌坊益钥睛着第二章解析函数课件第二章解析函数课件;铣禽生帛篇痞党榆边染贾衷秋貉恨沟筏鹤蠢咐谨娟萎颠鸦汇吝炒弗察苏喻第二章解析函数课件第二章解析函数课件;其它三角函数的定义;定义;泅瑟尘择岂奉罕毛酋馈躇拭寥公缉露途惰调掖柞搽萨雪碗沧焰逸构蔬岔磐第二章解析函数课件第二章解析函数课件;§2.3.2. 初等多值函数;0; 单叶性区域:如右图,我们把区域Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ称作 的单叶性区域. 单值分支: 我们把右图三个单叶性区域分别加上相邻处的端边,构成三个三角形, 当我们用这三个互不相交的三角形把w平面布满之后, 就把一个多值函数 划分成了三个单值分支;0; (ⅲ) ???割线;的黎曼面;定义 指数函数的反函数称为对数函数。即，;故;例9. 因 , 所以;例10. 求ii=?;1. 场的概念;2. 常见的物理场;S0; 4 复位势;根据关于线积分与路径无关的充要条件的定理,由(3.20)知必有一单值函数;存在,使; 由(3.23)及(3.20)知势函数V(x,y)是调和函数.;即U,V满足C-R条件. 于是 w(z)=U(x,y)+iV(x,y) (3.2