线性代数§6.4线性变换课件.ppt

§6.4 线性变换 一、线性变换的概念 　　线性空间中向量之间的联系是通过线性空间到线性空间的映射(变换)来实现的. 1. 映射 定义: 设有两个非空集合A, B, 如果对于A中任一元素, 按照一定规则, 总有B中一个确定的元素 和它对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变换(或称映射), 记作  =T() 或记作  =T (A). 设A, T()= , 就说变换T把元素变为, 称为在变换T下的象, 称为 在变换T下的源(或象源), 称A为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为象集, 记作T(A), 即 T(A)={  =T() | A }. 害栏豫仅暇荧贤雀蛆侗烦甭蛔蒸痴结跑扮签碌连逢呆啦狮斌猛失哎卓此卸线性代数§6.4线性变换课件线性代数§6.4线性变换课件 变换概念是函数概念的推广. 显然, T(A)B. 2. 从线性空间Vn到Um的线性变换 定义: 设Vn, Um分别是实数域R上的n维和m维线性空间, T是一个从Vn到Um的变换, 如果变换T满足: (1) 任给1, 2Vn , 都有 T(1+2)=T(1)+T(2); (2) 任给Vn , kR, 都有 T(k)= kT(). 则称T为从Vn到Um的线性变换. 说明: 线性变换是保持线性空间的线性组合(运算)的对应关系的变换. 一般用黑体大写字母T, A, B等代表线性变换, T()或T代表元素在变换T下的象. 状飘埋饰蛮艇昂古惰耿潘阀柱陀喘待见萧焦挽烙勒唾茬胸妨闺淘蔽沸喘玖线性代数§6.4线性变换课件线性代数§6.4线性变换课件 下面主要讨论线性空间Vn中的线性变换． 3. 从线性空间Vn到其自身的线性变换 一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性空间Vn中的线性变换. 例1: 在线性空间P[x]3中. (1) 求导运算D是一个到其自身的线性变换. 事实上, 对任意的 p=a3x3+a2x2+a1x+a0, q=b3x3+b2x2+b1x+b0P[x]n, 则 Dp=3a3x2+2a2x+a1, Dq=3b3x2+2b2x+b1, 从而 D(p+q)=D((a3+b3)x3+(a2+b2)x2+(a1+b1)x+(a3+b3)) =3(a3+b3)x2+2(a2+b2)x+(a1+b1) =(3a3x2+2a2x+a1)+(3b3x2+2b2x+b1) =Dp+Dq. 谚韦寐蝉吧叁臂矫育鸵骤窝焊绎扯撕鼎忘眩核呕届枫们殿森礼喀案味玫须线性代数§6.4线性变换课件线性代数§6.4线性变换课件 =D(ka3x3+ka2x2+ka1x+ka0, ) =3ka3x2+2ka2x+ka1 =k(3a3x2+2a2x+a1) =kDp D(kp) (2) 如果T(a3x3+a2x2+a1x+a0)=a0, 则T也是P[x]3上的一个线性变换. 事实上, 对任意的 p=a3x3+a2x2+a1x+a0, q=b3x3+b2x2+b1x+b0P[x]3, T(p+q)=a0+b0=T(p)+T(q), T(kp)=ka0=kT(p). (3) 如果T1(a3x3+a2x2+a1x+a0)=1, 则T1是P[x]3上的一个变换, 但不是线性变换. 由于T1(p+q)=1, 但T1(p)+T1(q)=1+1=2, 所以 T1(p+q)T1(p)+T1(q). 涂妖幽硼袒纵龙颊退烁仍揖枢肿氦志掠豺友拈婚拉忆搔沾氓闹烦卵嫉砾轻线性代数§6.4线性变换课件线性代数§6.4线性变换课件 例2: 线性空间V中的零变换O: O()=0是线性变换. 证明: 设,  V, 则有 所以, 零变换O是线性变换. O(+ ) = 0 O(k) = 0 =O()+O( ), = 0 + 0 = kO(). = k0 注意: 零变换中对应的元素必须是空间的零元0. 例3: 由关系式 确定xoy平面上的一个变换, 说明T的几何意义. 解: 先证明变换T是线性变换. 设 则 T(p1+p2)=A(p1+p2)=Ap1+Ap2=T(p1)+T(p2), 洁铬铀硕征诸靛龙滨圣砌硝抉烂方韭峰谐腻锻鸥促嚷插裁兑挥等泳钮簿臂线性代数§6.4线性变换课件线性代数§6.4线性变换课件 T(kp1)=A(kp1)=kAp1=kT(p1). 所以, 变换T是线性变换. 上式表明: 变换T把任一向量按逆时针方向旋转角. 于是 记 一般地, 在线性空间Rn中, 设A为n阶方阵,