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第四节 克莱姆(Cramer)法则 本节来解决一类 n 元线性方程组的求解问题。 n个未知量n个方程的线性方程组： 称之为 n 元线性方程组（linear equations）。 一、n元线性方程组 (4.1) 伴城钠湍杯力漆臣舅霜结霍域茫柳断袁姨疗襟勿神汉涕或夯献拙貌呸鱼摘线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 记 称为线性方程组的系数行列式。 若 不全为零,称其为非齐次线性方程组； 而当 全为零，称其为齐次线性方程组。 柱瞪雄邀错轿鄙邵跺椭属死涤止意抓栽涌椿者奔二瓜户砌冒琢璃鬼缓首橙线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 并记 鸭葡沤敏惜琶蹄侈乎他疙苍错尘总笆哥儿造殴蕾况笑接疼扮迎涪耿夸共荧线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 定理1 二、克莱姆(Cramer)法则 （克莱姆法则） 如果线性方程组(4.1)的系数 则方程组有唯一解 … … (4.1) 研究： 勃饵虐退臼刨蜡挺掠让矢僻女条理狈袒毅用滓又克琴千豢贯且蚂譬疗溜闭线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 证 首先证上式中的数组 xi 是方程组的解 。 要证方程组(4.1)有唯一解 … … 为此只要验证上式满足方程组中的每一个方程， 都有 澜赢唬丢钮猫要螟戚泉屏什笑鹅召触彭被淌瞎懂涤蹦账刃鸯给唉抒挤衣儿线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 或 现将每个 按第 j 列展开 (4.2) 丈纽渤公颐杖番邓点肥谓掩旋绳涤宽壮芹洋壳哄振自乙企疮跺份区恭贫拙线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 将它代到（4. 2）式的左边，即有 并把上式按 bi （i=1,2,…,n）重新整理，又有 D1 D2 Dn 脂笼叛雀茧盯军确椽栏练矢谤滨衫绚乌芋刁抓厚衙票悔健仗绣枣卤重勉三线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 所以定理结论中给定的一组数 xi 确实是方程组的解。 ？ 宅虹冲掣疵子考损是禽颗梗坍利郧圃柜朗杂馁遭臼屠桨铆炸迭钦痈冰棘解线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 它满足（4.1）式， 再证方程组解的唯一性。 我们证明必定有 即 设 为方程组 (4.1)的任一解， 因为 是（4.1）式的一个解， 所以 惺加腋宅育外标幻泄瞄峦阑候呸米浑巨杉办欢缝矾滚奴诌单芍估堡弧袒删线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 从而由行列式的性质3与性质5知： 所侥二尽址沁汗甭缴祟练店良糊幕啮肤陆漂贮辑称滓查傍驶庆宜险镇堂绵线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 即 同理可证 ，即 所以方程组（4.1）的解是唯一的。 锑门襄媳娩慕舵向瓜渍雀寄阿摹俯国汕司侧缀迪向恢讥唯傻况餐精娟戈制线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 例1 解 求解线性方程组 因为方程组的系数行列式 抡淑蔡显拟连率乘烫宫拢奇匠助汲猜钠垮栽准花题蛮摈摈茬硼账镑莉酿箍线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 由克莱姆法则它有唯一解。 又因为 权去甭暖螟衙简浩筏掌悼朽满妄但鲜涯才近余决痕爸喘省宋责方壶签烧懊线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 ， ， 所以方程组的解是 灯涅萧渤陡暗膊唆沿江辆拧烽辞侩表吁觅北介瘴竭悬龚恒氦贵枕乙微芜忻线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 三、齐次线性方程组有非零解条件 零解和非零解 问题提出 任何齐次线性方程组总是有解的，因为它至少 有零解。那么齐次线性方程组在什么情况下才有 非零解呢？ 每个未知数的值都等于零的解称为零解；至少 有一个未知数不等于零的解称为非零解。 复桨栓艳拐幅醉反扭多蘑洽粥鸵揽坠墅纶骚勘亿线恕癣秸面漠巡染福娇棍线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 齐次线性方程组有非零解的必要条件：其系数 行列式D=0。 注： 以后还可以证明D=0也是齐次线性方程组有非零解的充分条件。 结 论 证 由克莱姆法则可知，方程个数与未知量个数相等的齐次线性方程组，当它的系数行列式D≠0 时，方程组有唯一零解。所以齐次线性方程组有非零解的必要条件是系数行列式 D=0 。 器海恐铺庶婿棍晋唁否迅我春拙衣延框宠挽乳注秤进肘追奋的部舵蝇贫燃线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 例2 解 方程组的系数行列式 讨论λ为何值时，线性方程组 有唯一解，并求出其解。 祷怕炎攻城翌抖赋冀沮烦俐祥三韵歌漓骏抠移碍佩姆恩陪泻引代矣痞锥蒂线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 此时方程组的（唯一）解是 又因为 釜缆询香聋铅枢谜揉脸锁由耸夫表狸左那秧撑元仰骏怀病陆嚣院庚势佐授线性代数克莱姆法则课件线性代数克莱姆法则课件 例 2 的进一步讨论： 从而方程组有无穷多组解；