线性方程组解题归纳课件.ppt

第四章 线性方程组 解题方法技巧与题型归纳 ;题型一 线性方程组解的基本概念;解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3，对增广矩阵进行初等行变换 易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。;2.设A是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T, 3α1+α2= （2，4，6，8）T,求方程组Ax=b的通解。;解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T, 是Ax=0的解，即其基础解系可以是（0，2，3，4）T, 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b知1/4 （α1+α2+2α3）是Ax=b的一个解，故Ax=b的通解是 ;3.已知ξ1=（-9，1，2，11）T，ξ2=（1，- 5，13，0）T，ξ3=（-7，-9，24，11）T是方程组的三个解，求此方程组的通解。;分析：求Ax=b的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。 解：A是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为 η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T, η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T是Ax=0的两个线性无关的解向量，于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k1η1+k2η2是通解。;总结： 不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。;题型2 线性方程组求解;解：将方程组的系数矩阵A化为行最简形阵 r(A)=2,n=5,因而一个基础解系含有3个解向量α1=（1，-2，1，0，0）T, α2=(1,-2,0,1,0)T, B α3=(5,-6,0,0,1)T, B矩阵的r3=r1-r2，r4=3r1-2r2， B中线性无关的行向量只有1，2行，故B中4个行向量不能构成基础解系，需增补α3。;1.参数取哪些值时使r(A)≠r(Ab)，方程组无解； 2.参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)，方程组有解，继续讨论 ⑴参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)＜n，方程组有无穷多解； （2）参数取哪些值时使r(A)=r(Ab)=n，方程组有唯一解。;一、当方程个数与未知量个数不等的线性方程组，只能用初等行变换求解； 二、当方程个数与未知量个数相等的线性方程组，用下面两种方法求解： 1.初等行变换法 2.系数行列式法，系数行列式不等于0时有唯一解，可用克莱姆法则求之；系数行列式为0时，用初等行变换进行讨论。;5.设线性方程组 （1）证明：若a1，a2，a3，a4两两不相等，则线性方程组无解； （2）设a1= a3 =k，a2=a4=-k(k≠0)，且已知β1=（-1，1，1）T，β2=（1，1，-1）T是该方程组的两个解，写出该方程组的通解。;解（1）（Ab)对应的行列式是范德蒙行列式，故r(Ab)=4,r(A)=3，所以方程组无解。 （2）当a1=a3=k，a2=a4=-k时，原方程组化为 系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，β2-β1=（-2，0，2）T,是对应导出组的非零解，即为其基础解系，故非齐次组的通解为 X=c(β2-β1)+β1。（c为任意常数。）;题型4 线性方程组的公共解、同解问题;6.设如下四元齐次方程组（Ⅰ）与（Ⅱ） ，求： （1）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的基础解系； （2）方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的公共解。 ;解：（1）（Ⅰ）的基础解系为α1=（-1，1，0，1）T，α2=（0，0，1，0）T； 同样得（Ⅱ）基础解系为α3=（1，1，0，-1）T，α4=(-1,0,1,1)T (2)将方程组Ⅰ和 Ⅱ联立组成新方程组Ⅲ：;将其系数矩阵进行初等行变换 得Ⅲ的基础解系为（-1，1，2，1）T 于是方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解为 X=k（-1，1，2，1）T,k取全体实数。 ;情况2 . 仅已知两齐次线性方程组的通解，求其非零公共解：令两通解相等，求出通解中任意常数满足的关系式，即可求得非零公共解，简言之，两通解相等的非零解即为所求的非零公共解。;7.已知齐次线性方程组Ⅰ与Ⅱ的基础解系分别是α1=（1，2，5，7）T,α2=(3,-1,1,7)T，α3=（2，3，4，20）T， Β1=（1，4，7，1）T， β2=（1，-3，-4，2） T。 求方程组Ⅰ与Ⅱ的公共解。;