第九章 拉普拉斯变换教案.doc

课题 （项目） Laplace变换的概念 课时 2 课地点 阶东1-2 授课时间 2012年4月9日，第9周，周一 第1-2节 教学 目标 方法 手段 教学目标：1、理解 Laplace变换的定义，掌握常用函数的拉氏变换表，会利用拉氏变换定义求解简单函数的拉氏变换，能较为熟练地运用常用函数的拉氏变换表求解函数的拉氏变换。2、理解并掌握单位阶梯函数及其性质，掌握自动控制系统中常用的两个函数的拉氏变换 教学方法：课堂讲授，讨论与练习相结合 教学手段：讲授 板书，多媒体 重点 难点 教学重点：掌握部分分式法求Laplace逆变换。 教学难点：分解成分式之和，用位移性质求Laplace逆变换，求Laplace逆变换。 教学过程与 内容 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用． 一、引入 在代数中，直接计算 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 ， 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数． 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。 二、新课讲授 9.1.1 拉氏变换的基本概念 定义 设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即 （9-1） 称（7-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作 ，即。 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： (1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，。 （2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。 （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。 例9-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换。 解 。 例9-2求指数函数（为常数）的拉氏变换． 解 ，即 ． ；。 类似可得： 常用函数的拉氏变换表 问题：计算函数的拉氏变换。 知道，如果还是用拉氏的定义来计算，整个计算会比较复杂，而且有些还比较困难。为了运算的方便，我们给出常用函数的拉氏变换表。 通过PPT展示常用函数的拉氏变换表。 三、应用举例 例9.4 求（1） ， （2） 的拉氏变换。 例9.5 求。 例9.6 求的拉氏变换。 9.1.3 自动控制系统中常用的两个函数 1、单位阶梯函数（单位阶跃函数） 1)单位阶梯函数的定义 函数称为单位阶梯函数（单位阶跃函数）。把分别平移个单位，则有， ，当时，将这两式相减得 2）单位阶梯函数的性质 单位阶梯函数具有： 3）单位阶梯函数的拉氏变换： 例9.7 单位阶梯函数的拉氏变换。 解 ，． 2、单位脉冲函数及其拉氏变换 在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则 由于电流强度是电量对时间的变化率，即 ， 所以，当时，；当时， 。 上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数。 1）定义 设，当0时，的极限 称为狄拉克（Dirac）函数，简称为函数． 当时，的值为；当时，的值为无穷大，即．和