第二节 拉氏变换公式.ppt

初值定理 （2－26） 卷积定理 （2－27） 证：令 则 再令 则 尺度变换定理 （2－28） 复数域积分定理 证： （2－29） 例2-10：求如下函数的拉氏变换 证： 复数域微分定理 推论： （2－30） 例2-11：求如下函数的拉氏变换 例2-12：已知因果函数f(t)的象函数 求 的象函数 解：由于 利用实位移定理 由尺度变换定理 由复位移定理 练 习 练习2-1：求如下函数的拉氏变换 练习2-2：求如下函数的拉氏变换 练习2-3：求如下函数的拉氏变换 练习2-4：求如下函数的拉氏变换 练习2-5：求如下函数的拉氏变换 练习2-6：求如下函数的拉氏变换 练习2-7：求如下函数的拉氏变换 练习2-8：求如下函数的拉氏变换 练习2-9：求如下函数的拉氏变换 练习2-1：求如下函数的拉氏变换 练习2-2：求如下函数的拉氏变换 练习2-3：求如下函数的拉氏变换 练习2-4：求如下函数的拉氏变换 练习2-5：求如下函数的拉氏变换 练习2-6：求如下函数的拉氏变换 练习2-7：求如下函数的拉氏变换 练习2-8：求如下函数的拉氏变换 练习2-9：求如下函数的拉氏变换 第二章 拉普拉斯变换的数学方法 机械工程控制基础 第二节 拉氏变换 设函数f(t)满足： 1. f(t)实函数； 2. 当t0时 ， f(t)=0； 3. 当t?0时, f(t)在每个区间上是分段连续的 3. f(t)的积分 在s的某一域内收敛，s为复变数 一、拉氏变换的定义 则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为： 式中：s=σ+jω（σ，ω均为正实数）； F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数; f(t)称为F(s)的原函数； L为拉氏变换的符号。 （2－9） 拉氏反变换的定义 其中L－1为拉氏反变换的符号。 称为收敛因子。 积分的结果不再是 t 的函数，而是复变量 s的函数。所以拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到 s 域内的复变函数F(s)。 用符号L-1 [ ]表示对方括号里的复变函数作拉氏反变换。 （2－10） （2－11） 阶跃函数的拉氏变换 二、 典型函数的拉氏变换 （2－12） 斜坡函数 单位速度函数的拉氏变换 （2－13） 幂函数 拉氏变换（法1） 根据函数 则 令 （2－14） 幂函数的拉氏变换（法2） （2－15） 抛物线函数 单位加速度函数拉氏变换 （2－16） 洛必达法则 单位脉冲函数拉氏变换 （2－17） 指数函数的拉氏变换 （2－18） 例2-1：求解函数 的拉氏变换 （欧拉公式） 三角函数的拉氏变换 （2－19） （2－20） 例2-2：求解函数 的拉氏变换 高等函数?初等函数 指数函数 三角函数 单位脉冲函数 单位阶跃函数 单位速度函数 单位加速度函数 幂函数 典型函数的拉氏变换小结 例2-3：求解函数 的拉氏变换 三、拉氏变换的主要运算定理 线性定理 微分定理 积分定理 位移定理 延时定理 卷积定理 初值定理 终值定理 比例定理 线性定理 叠加定理 L[K(1-e-at)] =L[K] -L[Ke-at] 结论： 由此可见，根据拉氏变换的线性性质，求函数乘以常数的象函数以及求几个函数相加减的结果的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行计算。 例2-4：求以下函数的拉氏变换： f(t)=K(1-e-at) 微分定理 原函数的高阶导数 ? 像函数中s的高次代数式 多重微分 （2－21） 解：（1） 例2-5：利用导数性质求以下函数的象函数： （1）f(t)=cos(ωt) （2）f(t)=δ(t) （2） 由于 δ(t)=dε(t)/dt =1 f(t)=δ(t) = s - 0 积分定理 原函数的n重积分?像函数中除以sn 多重积分 （2－22） 例2-6：利用积分性质求函数f(t)=t的象函数 解：f(t)=t L[f(t)]= 原函数乘以指数函数e-at?像函数F(S)在复数域中作位移a 衰减定理（复位移定理） （2－23） 例2-7：求 的拉氏变换 解：直接用复位移定理得： 求 的拉氏变换？ 原函数平移 ? ? 像函数乘以 e-s? 延时定理（实位移定理） （2－24） O t f(t) T 例2-8：求f(t)的象函数 解： f(t)= =Aε(t) A -Aε(t-T) L[f(t)]= A/s- A/s · e-sT O t f ’(t) O t f ’’(t) f ’(t)+ f ’’(t) 例2-9：求图所示三角波的拉氏变换 从图可知，三角波左边函数斜率为