第五章 对流-扩散方程的离散格式.ppt

5.1 对流项离散格式的重要性及两种离散格式 非线性对流项的处理涉及到对流项的离散格式（物理过程观点：对流作用带有强烈的方向性）； 动量方程的压力梯度项处理涉及到压力与速度的耦合问题。 5.1.1 对流项离散格式的重要性 对流项离散格式是否合适将会影响： ⑴ 数值解的准确性（假扩散误差） ； ⑵ 数值解的稳定性 ； ⑶ 数值解的经济性 。 5.1.2 构造对流项离散格式的两种方式 1、Taylor展开方式 对于节点上的一阶导数给出其相应的离散方式，如表5-1。 例如：对一维均分网格，节点P一阶导数的 中心差分为： 2、控制容积积分方式 将对流项的一阶导数对控制容积P作积分，有： 所谓对流项的离散格式就是如何用相 邻节点上之值来获得 及 的插值方式。 由上式： 如将界面上分段线性的型线代入上式，得 3、两种定义方式之间的关系 ⑴ 对某种对流项的离散格式，都可以从两种方法来给出其相应的定义； ⑵ 两种定义方式给出的格式的截断误差的阶数一般地说是一致的； ⑶ 两种定义方式所逼近的量实际上有一定区 别。Taylor展开法逼近的是在P点的导数值，而控制容积积分法所逼近的是在该控制容积内导数的积分平均值。 5.2 对流项的中心差分与迎风格式 5.2.1 一维对流-扩散问题模型方程的精确解 一维稳态无内热源的对流-扩散问题的控制方程： 若边界条件为：x = 0， ；x＝L， 。 则方程的解为： 其中Peclet数 。 Pe数表示对流与扩散作用的相对大小.当Pe的绝对值很大时，导热或扩散作用就忽略. 5.2.2 对流项的中心差分 1、定义及系数的构成 用控制容积积分法时，中心差分相当于界面上取分段线性的型线。将控制方程对控制容积P作积分，对均分网格，离散方程为： 令 ， （扩导）则上式可变为： 式⑴ 在数值计算中，若连续性方程始终得到满 足，aP仍为相邻各系数的和。aE, aW包括了扩散与对流作用的影响。 2、特性分析 网格Pe数： 常物性下(1)式可写为： 5.2.3 对流项的迎风格式 1、两种离散方式下的迎风格式 ⑴ Taylor展开法 （如下图） 以流动方向而言，P点的一阶导数永远是该方向上的向后差分，永远从上游获取构成一阶导数所必须的信息 对多维问题，用此方法构造的对流项的离散格式，只有在求解区域内流速不发生逆向时，所形成的离散方程才具有守恒性。 2、控制容积积分法定义 规定界面上的未知量恒取上游节点的值 e界面上： w界面上： 与中心差分格式的区别：迎风差分界面上的 未知量恒取上游节点的值，而中心差分取的是上、下游节点的算术平均值。 2、采用迎风格式的模型方程离散形式 用迎风方式离散对流项，二阶导数项仍采用分段线性，则模型方程的离散形式可写为： 5.2.4 中心差分及一阶迎风格式的讨论 1、在对流项中心差分的数值解不出现振荡的参数范围内，在相同的网格节点数下，采用中心差分的计算结果要比采用迎风差分的结果误差更小； 2、一阶迎风格式离散方程的系数aE及aW永远大于零，因而无论在任何条件计算下都不会引起解的振荡，永远可以得出看似合理的解； 3、由于一阶迎风的截差阶数低，除非相当密的网格，其计算结果的误差较大； 4、一阶迎风格式的使用时间为构造性能更优良的离散格式提供了有益的启示：应当在迎风方向上获取比背风方向上更多的信息以较好地反映对流过程的物理本质； 5、在软件的调试过程中，一阶迎风由于其绝对稳定的特性仍有其应用价值。 5.3 对流-扩散方程的混合格式及乘方格式 5.3.1 系数aE与aW之间的内在联系 中心差分(CD): 对同一界面 ， 于是有： 迎风差分(